하단동 고등수학과외

“가능한 결과와 여러 시행에서의 평균은 같은 종류인가?”라는 질문 앞에서 계산이 멈출 수 있다. 이 장면은 이항분포의 공식을 몰라서라기보다, 결과로 나오는 횟수와 여러 시행을 반복했을 때의 평균을 같은 방식으로 해석했는지 확인해야 하는 경우다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 둘을 구분한 뒤 조건을 식에 연결하는 과정을 중심으로 살핀다.

횟수와 기댓값을 먼저 구분하기

문제에서 X~B(3, 1/2)이고 E(X)를 구하라고 했다면, X는 성공 횟수다. 한 번의 시행에서 성공 횟수는 0, 1, 2, 3 중 하나이므로 정수이지만, E(X)는 이 시행을 같은 조건에서 여러 번 반복한다고 볼 때 성공 횟수의 평균적인 위치를 나타낸다. 따라서 E(X)=np=3×1/2=1.5이며, 횟수가 정수라는 이유로 반올림해 2라고 할 수 없다.

이렇게 답했다면 “정수인 것은 가능한 한 번의 결과인가, 여러 결과를 모아 계산한 평균인가?”라고 다시 묻는다. 이어서 이항분포가 같은 성공확률의 독립시행을 정해진 횟수만큼 반복하는 상황인지, 성공확률과 시행 횟수를 제대로 읽었는지 학생이 직접 표시하게 한다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 기대 횟수와 특정 시행의 결과를 혼동했는지도 설명으로 확인한다.

분포표와 가중합으로 식을 대조하기

공식의 의미가 아직 불분명하다면 성공 횟수 0, 1, 2, 3에 대응하는 확률을 직접 적는다. 각각의 확률은 1/8, 3/8, 3/8, 1/8이고, 기댓값은 가능한 값에 그 값이 나올 확률을 곱해 더한 것이다. 따라서 E(X)=0×1/8+1×3/8+2×3/8+3×1/8=12/8=1.5가 된다. 이는 1.5회라는 실제 결과가 반드시 나온다는 뜻이 아니라, 분포 전체를 반영한 평균이 1과 2 사이에 놓인다는 뜻이다.

학생은 자신의 계산에서 ‘반올림’이라는 말을 지우고, E(X)=3/2라는 식과 분포표의 가중합을 나란히 적어 대조한다. 공식은 가능한 결과를 정수로 바꾸는 규칙이 아니라, 같은 확률 구조에서 평균을 계산하는 방법이라는 점을 확인한다. 이때 성공과 실패가 독립적으로 반복된다는 조건이 빠지면 이항분포 자체를 적용할 수 없으므로, 식보다 먼저 상황의 조건을 읽어야 한다.

조건을 바꾸어 처음부터 다시 세우기

이해를 확인할 때는 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남긴다. X~B(5, 0.2)가 성공 횟수이고 실패 횟수 Y=5-X라고 할 때, 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 성공과 실패를 바꾸면 실패확률은 0.8이고 시행 횟수 5와 독립성은 그대로이므로 Y~B(5, 0.8)이다. 따라서 E(Y)=5×0.8=4이다.

이 결과는 E(5-X)=5-E(X)=5-1=4로도 확인할 수 있다. 여기서 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 달라진 것인지 구별해야 한다. 평균을 구하는 절차는 유지되지만, 성공을 실패로 바꾸면서 성공확률이 0.2에서 0.8로 바뀌었다. 학생이 이 차이를 표시하고 두 계산을 대조했다면 기본식을 외운 것과 달리 조건을 적용한 근거가 드러난다.

마지막으로 “한 번의 결과가 정수라는 사실이 기댓값도 정수라는 뜻인가?”, “각 시행의 성공확률과 독립성이 유지되는가?”, “구한 평균을 다른 식으로 확인할 수 있는가?”를 묻는다. 이 질문만 남긴 상태에서 학생이 문제의 조건, 필요한 식, 계산, 대조 근거를 순서대로 다시 작성하게 하면, 소수인 이항 평균을 반올림하지 않고 분포의 평균으로 해석하는지 분명히 확인할 수 있다.