신평동 고등수학과외

등비수열의 합을 구할 때는 공비의 값만 보고 첫째항까지 바꾸지 않는 것이 출발점이다. 예를 들어 a₁=4, aₙ₊₁=0·aₙ(n≥1)으로 정한 수열의 첫 5항 합을 구하는 문제에서 “공비가 0이므로 첫째항도 0”이라고 답했다면, 계산보다 먼저 점화식이 어느 항을 정하는지 확인해야 한다.

첫째항과 점화식이 정하는 항을 구분하기

“점화식은 첫째항을 바꾸는가, 둘째항부터 정하는가?”라고 물었을 때 a₁은 문제에서 이미 4로 주어졌고, n≥1인 식은 a₂부터 만든다는 점을 말할 수 있어야 한다. 공비는 연속한 항의 곱셈 관계를 나타내며, 증가량처럼 첫 항에 더해지는 값이 아니다. 공비가 0이면 첫째항이 0이 되는 것이 아니라 둘째항부터 0이 된다.

따라서 a₂=0·a₁=0, a₃=0·a₂=0으로 차례로 적는다. 이때 0⁰처럼 항 번호를 지수에 억지로 대입하지 않고, 주어진 첫째항과 점화식을 각각 보존한다. 공비가 1인 경우에는 합 공식의 분모가 0이 되므로 항의 개수와 공통값을 직접 살펴야 하고, 음의 공비라면 연속한 항의 부호가 어떻게 바뀌는지도 확인해야 한다.

다섯 항을 직접 쓰고 합의 범위를 표시하기

학생이 직접 4, 0, 0, 0, 0을 적었다면 문제에서 요구한 첫 5항의 끝을 표시한 뒤 4+0+0+0+0=4로 계산한다. 정답은 4이다. 점화식의 적용이 n=1에서 시작되어 둘째항을 만든다는 것까지 대조하면, 처음 오답은 공비와 첫째항을 한꺼번에 판단한 데서 생겼을 가능성을 확인할 수 있다. 다만 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생이 공비와 증가량을 혼동했는지, 공비가 1이거나 음수일 때도 같은 방식으로 판단하는지 이어서 묻는다.

일반항 aₙ=a₁rⁿ⁻¹을 사용할 때도 항 번호와 부호를 함께 읽는다. 유한 등비합 공식을 적용한다면 먼저 r−1이 0인지 확인하고, 해당하지 않을 때만 나눗셈을 포함한 식을 쓴다. 공비 0인 경우에는 직접 항을 나열하는 편이 0⁰을 만들지 않아 안전하며, 부분 계산으로 식의 결과와 실제 항을 대조할 수 있다.

조건을 남긴 채 다른 공비로 다시 확인하기

앞의 문제와 조건은 그대로 두고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 학생이 첫째항 4와 점화식의 적용 위치를 스스로 적게 한다. 계산 결과와 그 결과가 성립하는 조건을 각각 쓰게 한 뒤, 같은 문제를 다시 풀어 4가 나오는지 확인한다. 표현만 바꾼 것과 조건 자체가 달라진 것은 구별해야 하므로, 다음에는 a₁=8, r=1/2인 등비수열의 첫 4항 합을 판단하게 한다.

학생은 8, 4, 2, 1까지만 적고 네 항의 끝을 표시한다. 따라서 합은 8+4+2+1=15이다. 유한합식으로 계산해도 8(1−(1/2)⁴)/(1−1/2)=15가 된다. 네 항을 직접 더한 값과 식의 결과를 대조하며, 16은 이후 항까지 무한히 더할 때의 값이므로 첫 4항의 합 15와 다르다고 구분한다. 공비의 부호가 헷갈리면 연속한 네 항을 먼저 써서 부호 변화를 읽고, 다음 풀이에서도 항의 개수와 합의 끝을 표시하는지 점검한다.