장안읍 수학과외

대표 문제에서 4C2를 사용한 이유 살펴보기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 서로 다른 학생 4명 중 대표 1명과 부대표 1명을 겸임 없이 뽑을 때 경우의 수를 구하는 문제입니다. 학생 두 명을 고르는 것처럼 보여 4C2=6이라고 했다면, 먼저 그 식을 쓴 이유를 확인해 볼 필요가 있습니다. 4C2는 4명 중 2명을 고르되, 두 명을 고른 순서를 구별하지 않는 계산입니다. 따라서 대표와 부대표처럼 역할이 정해진 문제에 그대로 적용하면 문제의 조건 일부가 빠집니다.

예를 들어 학생 가와 나를 골랐을 때, 가가 대표이고 나가 부대표인 경우와 나가 대표이고 가가 부대표인 경우는 서로 다른 결과입니다. 두 사람이 모두 선택되었다는 사실만 세는 것이 아니라, 누가 대표이고 누가 부대표인지까지 결과에 포함되기 때문입니다. 이 문제에서 구해야 하는 것은 단순히 두 학생의 묶음이 아니라 대표와 부대표가 정해진 순서쌍입니다.

오답의 원인을 문제 조건과 연결해 구분하기

교사는 “왜 4C2를 사용했는가?”라고 묻고, 학생이 조합의 뜻을 말로 설명하는지와 대표 문제의 조건에 적용하는지를 나누어 확인합니다. 학생이 “4명 중 2명을 고르는 문제라서”라고 답한다면, 두 명을 고르는 것과 두 역할을 정하는 것이 같은지 다시 살펴봅니다. “대표와 부대표의 자리를 바꾸어도 같은 결과인가?”라고 질문하면 순서와 역할이 결과를 구별하는지 확인할 수 있습니다.

학생이 개념은 알고 있지만 계산 중에 4C2를 잘못 쓴 것이라면, 처음 달라진 판단은 두 역할을 구별하지 않은 부분입니다. 반대로 조합과 순열의 차이를 설명하기 어렵다면, 먼저 결과를 세는 기준 자체를 함께 정리합니다. 교사는 오답 하나만 보고 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 어떤 조건을 같은 것으로 보았는지부터 확인합니다.

역할을 나누어 적고 학생이 다시 풀이하기

교사는 대표와 부대표를 이름이 다른 두 자리로 나누어 적습니다. 대표 자리는 4명 중 한 명을 정하므로 4가지가 있습니다. 대표가 정해진 뒤에는 같은 사람이 부대표를 겸임할 수 없으므로, 부대표 자리에 들어갈 수 있는 학생은 남은 3명입니다. 따라서 각 대표 선택마다 부대표 선택이 3가지씩 이어져 4×3=12가지가 됩니다.

학생이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사는 대표가 학생 가일 때 부대표가 나, 다, 라인 세 경우를 먼저 함께 적어 봅니다. 그런 다음 대표가 학생 나일 때도 부대표가 세 명이라는 점을 학생이 이어서 적게 합니다. 학생은 처음의 “4C2=6”에서 두 학생을 고르는 것만 세었던 판단을 바꾸고, 대표와 부대표의 역할을 나누어 생각합니다. 대표 4가지와 각 경우의 남은 부대표 3가지를 곱해 12가지라는 결론까지 직접 구합니다.

이 곱셈은 두 역할을 차례로 정하는 과정에서 나온 것입니다. 대표를 정한 뒤 부대표를 정하고, 같은 학생의 겸임은 조건상 제외했기 때문에 4와 3을 곱합니다. 문제에서 역할을 구별하지 않는다고 했다면 다른 계산이 필요할 수 있으므로, 이 방법을 모든 두 명 선택 문제에 무조건 적용하지는 않습니다.

다른 방식으로 검산하고 새 조건에 적용하기

검산할 때는 같은 식을 그대로 반복하지 않고, 먼저 고른 두 학생의 쌍을 생각해 봅니다. 4명 중 두 학생을 고르는 쌍은 4C2=6개입니다. 각 쌍마다 대표와 부대표의 역할을 바꾸는 두 가지가 있으므로 6×2=12가지입니다. 두 계산이 같은 결과를 내고, 역할을 바꾼 경우를 서로 다른 결과로 센다는 점도 문제 조건과 일치합니다.

이제 기본 문제와 다른 새 문제를 적용해 봅니다. 서로 다른 학생 5명 중 발표자와 기록자를 겸임 없이 정한다면 발표자 5가지를 먼저 정하고, 발표자로 뽑힌 학생을 제외한 4명 중 기록자 1명을 정합니다. 따라서 경우의 수는 5×4=20가지입니다. 학생이 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 다시 해결하게 하면, 두 역할을 구별하고 남은 사람의 수를 곱하는 방법을 새 수치에도 적용하는지 확인할 수 있습니다. 이어서 “두 명을 고를 때는 항상 순서를 2로 나누는가?”를 물어, 역할을 바꾸면 다른 결과가 되는 경우에는 나누지 않는다는 점까지 설명하는지 살펴봅니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 문제의 근거를 말하고, 새 조건에서도 풀이를 스스로 구성하는지를 확인하며 도움의 정도를 조절합니다.