장안읍 중등수학과외

“(x+3)²=x²+9.” 학생이 적어 둔 식을 보며 수업을 시작했다. 장안읍중등수학과외 수업에서는 정답만 바로 고치지 않고, 어떤 조건을 놓쳤는지 실제 계산으로 확인한다. 이번 문제는 “(x+3)²을 전개하라”는 합의 제곱 전개 문제다. 학생은 x를 제곱한 x²과 3을 제곱한 9는 적었으므로 양끝 항은 처리했다. 다만 두 괄호를 곱할 때 생기는 가운데 항이 보이지 않는다.

x=1을 넣어 오답의 값부터 비교하기

교사는 학생에게 짧게 물었다. “x=1을 넣으면 양쪽 값이 같을까?” 학생은 왼쪽을 (1+3)²=4²=16으로 계산한 뒤, 자신이 쓴 오른쪽 식에 대입해 1²+9=10이라고 적었다. 이때 16과 10이 다르다는 사실은 식이 조건을 만족하지 않는다는 근거가 된다. 그러나 이 한 번의 오답만으로 학생이 합의 제곱 원리를 전혀 모른다고 단정하지 않는다. 교사는 학생이 x=1에서 양쪽 값을 비교하는 질문에 어떻게 답했는지, 그리고 실제 전개 과정에서 어느 곱을 적었는지를 함께 확인했다. 학생은 “양끝만 제곱했다”고 말했지만, 두 괄호를 항별로 곱한 줄은 작성하지 않았다.

(x+3)(x+3)의 네 곱을 빠짐없이 배열하기

교사는 설명을 길게 이어 가지 않고, 제곱을 먼저 곱셈으로 바꾸어 한 단계만 보여 주었다. (x+3)²은 (x+3)(x+3)으로 쓸 수 있다. 첫 번째 괄호의 x와 3을 두 번째 괄호의 x와 3에 각각 곱하면 x·x, x·3, 3·x, 3·3이라는 네 곱이 생긴다. “x·3과 3·x 두 곱을 모두 적어 보자”라고 말한 뒤, 다음 계산은 학생에게 맡겼다. 학생은 처음의 x²+9를 지우고, 두 교차 곱을 직접 끼워 넣었다.

학생이 완성한 수정 풀이는 다음과 같다. (x+3)(x+3)=x²+3x+3x+9=x²+6x+9. 처음 풀이와 달라진 부분은 x²과 9의 계산이 아니라, 두 괄호의 서로 다른 항을 곱한 3x와 3x를 추가한 점이다. 같은 문자를 포함한 항을 정리하면 3x+3x=6x가 되므로 최종 답은 x²+6x+9이다. 교사는 학생에게 계산 줄을 다시 읽게 하면서 네 곱이 각각 어디에 남아 있는지 손가락으로 짚게 했다.

대입과 항의 개수로 수정 풀이 검산하기

검산은 전개식을 다시 더하는 방식으로 끝내지 않았다. 먼저 x=1을 원래 식에 대입하면 (1+3)²=16이다. 수정한 식에 대입하면 1²+6×1+9=1+6+9=16이므로 양쪽 값이 일치한다. 이어서 교사는 “네 곱이 모두 들어갔는지 말해 보자”라고 물었다. 학생은 x·x는 x², x·3과 3·x는 각각 3x, 3·3은 9라고 설명했다. 이 두 가지 확인을 통해 값만 우연히 맞은 것이 아니라, 전개 과정에서 네 곱을 빠짐없이 포함했는지도 확인했다.

조건을 바꾼 적용 문제로 “(x−3)²을 전개하라”고 제시했다. 이번에는 괄호 안 상수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀐다. 학생은 먼저 (x−3)(x−3)으로 바꾸고, 네 곱을 x·x, x·(−3), (−3)·x, (−3)·(−3)으로 적는다. 따라서 교차 항은 각각 −3x가 되어 −6x가 되고, 마지막 곱은 음수와 음수의 곱이므로 +9이다. 계산은 x²−3x−3x+9=x²−6x+9가 된다. 앞 문제와 유지되는 원리는 네 곱을 모두 적는 것이며, 달라진 조건은 교차 항의 부호다. 상수의 제곱은 이번에도 양수로 남는다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답을 가린 뒤 같은 유형을 다시 제시한다. 도움 없이 학생이 교차 곱 두 개를 모두 적고, 그 이유를 말한 다음 식을 정리하는지 확인한다. 막히면 “x·3과 3·x 두 곱이 추가로 생긴다”까지만 다시 보여 주고 나머지 계산은 직접 쓰게 한다. 마지막에는 x=1에서 16=1+6+9가 되는지와 네 곱이 모두 표시되어 있는지를 근거로 검산했는지 확인한다.