도림동 중등수학과외

꼭짓점 순서가 바뀐 새 문제에서 시작하기

수업은 눈에 익은 문자끼리 자동으로 대응하지 않는 장면에서 시작한다. 학생에게 “△ABC∽△FDE이며 A↔F, B↔D, C↔E이다. AB=6cm, BC=8cm, FD=9cm일 때 DE를 구하라”를 제시하자, 학생은 AB와 FD가 대응한다는 점은 표시했지만 닮음 기호 뒤의 순서가 바뀐 점을 잠시 멈춰 확인했다. AB↔FD, BC↔DE를 적어야 하므로, 숫자는 익숙한데 대응 관계를 문자 모양만 보고 정하면 안 된다는 조건을 남겨 두었다.

도림동중등수학과외 수업에서는 학생이 먼저 고른 대응변과 비의 방향을 말로 설명하게 한다. 학생은 FD가 9cm이므로 AB=6cm에서 길이가 커졌다고 말하면서도, 식을 세울 때 어느 쪽을 분모로 둘지는 확신하지 못했다. 교사는 “작은 도형에서 큰 도형으로 가면서 길이가 작아지니?”라고 짧게 물었다. 학생이 기준을 고르지 못한다면 대응변 개념부터 다시 확인하고, 기준은 맞게 말하면서 결과만 다르면 계산 한 줄씩을 살피기로 했다.

6cm와 9cm가 대응하는 대표 문제 살피기

비의 방향을 확인하기 위해 조건을 단순하게 정리한 문제로 돌아간다. △ABC∽△DEF이고 A↔D, B↔E, C↔F이며 AB=6cm, BC=8cm, DE=9cm일 때 EF를 구하는 문제다. 학생은 처음에 EF=8×2/3=16/3cm라고 작성했다. AB:DE를 6:9로 보아 2:3까지 줄인 부분은 맞았지만, 작은 삼각형의 BC에서 큰 삼각형의 EF로 갈 때 길이를 2/3배로 줄였다. 처음 달라진 판단은 계산 자체보다 작은 도형에서 큰 도형으로 이동하는 비를 거꾸로 적용한 데 있었다.

교사는 “6에서 9로 가는 방향의 비는 얼마지?”라고 다시 묻고, 학생이 적은 6과 9 아래에 각각 ‘작은 길이’, ‘큰 길이’를 표시하게 했다. 필요한 설명은 한 단계로 제한했다. 6에서 9로 가는 방향의 비는 9/6이므로, 대응변을 작은 도형에서 큰 도형으로 비교하면 3/2가 된다. 교사는 EF까지 대신 계산하지 않고, 이 기준을 BC와 EF에도 같은 방향으로 옮겨 쓰게 했다.

대응변마다 같은 방향으로 수정하기

학생은 먼저 AB와 DE를 나란히 적었다. AB:DE=6:9=2:3이라고 정리한 뒤, 같은 순서인 작은 도형 대 큰 도형을 유지하여 BC:EF=2:3이라고 썼다. 따라서 8:EF=2:3이고, 2EF=24이므로 EF=12cm가 된다. 처음 풀이의 16/3cm와 비교하면서 학생은 “BC에서 EF로 갈 때도 2/3을 곱하는 것이 아니라 3/2을 곱해야 한다”고 직접 설명했다. 교사는 답을 먼저 알려 주지 않고, 두 대응변에 같은 기준이 유지되었는지만 확인했다.

검산은 같은 곱셈을 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 학생은 AB와 DE, BC와 EF의 비를 각각 분수로 바꾸어 6/9=8/12=2/3이라고 확인했다. 두 대응변의 비가 같으므로 6cm와 8cm가 각각 9cm와 12cm에 대응한다는 조건이 맞는다. 이 확인을 통해 정답은 EF=12cm이고, 비의 방향을 통일해야 한다는 판단 근거도 식으로 남았다.

순서가 달라도 대응을 직접 표시하는 적용

처음 제시한 새 문제로 돌아오면 숫자는 그대로지만 닮음 기호 뒤의 꼭짓점 순서가 달라졌다. 학생은 AB↔FD, BC↔DE를 다시 표시하고, 6cm에서 9cm로 가는 배율을 9/6=3/2로 정했다. 그러므로 DE=8×3/2=12cm이다. 마지막으로 6/9=8/12=2/3을 적어 대응변의 비가 같은지 확인했다. 문자 나열 순서가 대응을 결정하며, 눈에 익은 같은 문자를 자동으로 짝짓지 않는다는 점이 풀이에 드러난다.

다음에 같은 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고, 학생의 오답·수정 풀이·정답은 가린다. 도움 없이 학생이 대응변을 먼저 표시하고, 작은 도형에서 큰 도형으로 가는 비를 모든 대응변에 같은 방향으로 적는지 확인한다. 막히면 “6에서 9로 가는 방향의 비는 9/6”이라는 한 관계만 되짚고 다음 줄은 학생이 결정하게 하며, 6/9=8/12=2/3이라는 검산과 DE=12cm에 이르는 근거를 스스로 남기는지를 관찰한다.