논현동 초등수학과외

두 사다리꼴을 붙이면 어떤 도형이 될까?

이번 글은 실제 수업 기록이 아닌 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 같은 사다리꼴 두 장의 넓이를 구하는 상황을 생각해 보겠습니다. 한 사다리꼴의 윗변은 4cm, 아랫변은 8cm, 수직 높이는 3cm입니다. 준비한 두 장에는 윗변·아랫변·높이가 각각 표시되어 있어, 아이가 어느 길이를 비교해야 하는지 눈으로 확인할 수 있습니다. 이때 공식의 두 밑변은 아무 변이나 고르는 것이 아니라 서로 평행한 윗변과 아랫변을 뜻합니다.

교사는 먼저 같은 사다리꼴 두 장을 맞추어 하나를 돌려 붙이면 평행사변형처럼 만들 수 있다는 점을 보여 줍니다. 다만 활동 전에 아이가 이미 두 도형을 정확히 맞추거나 평행사변형의 넓이를 구할 수 있다고 단정하지 않고, 두 장을 실제로 맞추어 보며 어떤 길이가 밑변이 되고 높이가 유지되는지 확인합니다. 합쳐진 도형의 넓이는 사다리꼴 한 장의 넓이가 아니라 원래 두 장의 넓이를 합한 값이라는 점도 함께 살핍니다.

평균에 높이를 곱해도 같은 넓이일까?

대표 문제는 “윗변 4cm, 아랫변 8cm, 높이 3cm인 사다리꼴의 넓이를 두 밑변의 평균에 높이를 곱해 구해도 될까?”입니다. 아이가 두 밑변을 더한 뒤 2로 나누는 대신, 나누기 2를 뒤로 미루어야 한다고 생각할 수도 있습니다. 그러나 이 문제에서는 두 밑변의 합을 먼저 2로 나누는 순서로 식을 바꾼 것이므로 넓이가 달라지지 않습니다.

교사는 자료에서 4cm와 8cm가 표시된 서로 평행한 변을 차례로 짚고, 두 밑변을 합한 뒤 그 절반을 구하는 이유를 묻습니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 4cm와 8cm를 손가락으로 가리키고, 두 길이를 더한 수를 적거나 두 사다리꼴을 옮겨 평행사변형을 만드는 행동으로 이해를 나타낼 수 있습니다. 두 밑변의 평균은 (4+8)÷2=6cm이고, 이 평균에 높이 3cm를 곱하면 6×3=18cm²입니다. 따라서 사다리꼴 한 장의 넓이는 18cm²입니다.

두 장을 붙여 만든 평행사변형의 밑변이 6cm, 높이가 3cm라면 전체 넓이는 6×3=18cm²가 아니라 36cm²로 확인해야 합니다. 평행사변형은 같은 사다리꼴 두 장을 합친 도형이기 때문입니다. 그러므로 사다리꼴 한 장의 넓이는 그 절반인 18cm²입니다. 이 비교를 통해 “평균에 높이를 곱하는 식”은 두 장을 합친 도형의 넓이를 먼저 구한 뒤 한 장의 넓이로 나누어 생각한 결과와 연결됩니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 계산하기

아이가 “나누기 2를 앞에서 하면 넓이가 달라진다”고 말하거나 식의 순서를 망설인다면, 교사는 한 사다리꼴을 돌려 붙이는 과정을 먼저 시범 보입니다. 이어서 아이가 다른 한 장을 직접 옮겨 두 밑변이 어떻게 하나의 밑변 관계로 이어지는지 살펴보게 합니다. 교사는 4cm와 8cm를 더한 값, 그 절반인 6cm, 높이 3cm를 각각 가리키며 어느 수가 길이를 나타내고 어느 수가 넓이 계산에 들어가는지 확인합니다.

그다음 문제와 필요한 사다리꼴 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 놓아 봅니다. 두 사다리꼴을 맞춘 뒤 (4+8)÷2=6을 계산하고, 6×3=18을 적어 18cm²라고 답하는 과정까지 이어 가야 합니다. 답을 말하지 못하더라도 밑변 두 개를 가리키고, 6cm를 적고, 높이 3cm를 곱하는 순서를 보여 준다면 계산의 근거를 확인할 수 있습니다.

높이가 달라진 새 문제에 적용하기

이제 자료와 조건을 바꾸어 윗변 5cm, 아랫변 9cm는 그대로 두고 높이를 4cm에서 8cm로 늘린 문제를 제시합니다. 먼저 두 밑변의 평균은 (5+9)÷2=7cm입니다. 높이가 4cm일 때 넓이는 7×4=28cm²이고, 높이가 8cm일 때는 7×8=56cm²입니다. 밑변의 평균은 그대로이고 높이만 두 배가 되었으므로 넓이도 28cm²에서 56cm²로 두 배가 됩니다.

추가로 윗변 4cm, 아랫변 8cm, 높이 4cm인 같은 사다리꼴 두 장을 비교할 수 있습니다. 한 장의 넓이는 (4+8)×4÷2=24cm²입니다. 이때 아이가 기본 문제의 3cm를 그대로 사용하지 않고 새 높이 4cm를 자료에서 찾아 계산하는지 살핍니다. 다음 활동에서는 답을 외워 말하는지보다, 달라진 수를 다시 읽고 두 밑변의 평균과 높이를 연결해 식으로 나타내는지를 확인합니다.