논현동 고등수학과외

사라진 조건부터 다시 확인하는 풀이

“x≥0인 실수에서 p:x=2, q:x²=4이다. p와 q의 관계를 판단하라.”라는 문제를 풀 때, 이렇게 답했다면 먼저 계산 결과보다 문제의 조건을 다시 표시해야 한다. q에서 x²=4를 풀면 x=2 또는 x=-2이지만, 주어진 범위가 x≥0이므로 실제 논의 대상은 x=2뿐이다. 오답에서는 음수 근이 있다는 사실만 남고, 그 근이 현재 범위에 포함되는지는 사라졌다. 배움노트 고등수학 수업에서는 식 옆에 ‘전체 범위: x≥0’을 직접 적고, 후보 해마다 조건을 만족하는지 표시하게 한다.

이때 p이면 q인지, q이면 p인지 방향을 나누어 보아야 한다. p인 x는 2이므로 x²=4가 되어 p⇒q는 성립한다. 반대로 q이면 x²=4이고 x≥0이므로 가능한 값은 x=2뿐이다. 따라서 q⇒p도 성립한다. 두 방향이 모두 참이므로 p와 q는 서로 필요충분조건이다. 원의 표준형이나 제곱식에서 해를 구할 때도 식이 만든 후보와 주어진 정의역을 끝까지 비교해야 하듯, 여기서는 -2를 단순히 발견하는 것만으로 결론을 정할 수 없다.

음수 근을 반례로 쓸 수 있는지 묻기

“음수 근이 있으므로 여전히 충분조건만 된다”라는 오답이 나왔다면, 곧바로 개념을 잘못 외웠다고 단정하지 않는다. 먼저 “반례로 쓴 -2가 이번 논의 범위에 속하는가?”라고 묻는다. -2는 x≥0을 만족하지 않으므로 이 명제의 반례가 될 수 없다. 이어 학생이 p와 q의 방향을 바꾸어 읽었는지, 전칭 명제와 존재 명제의 부정을 혼동했는지도 확인한다. ‘어떤 값에서 식이 맞지 않는다’는 판단은 그 값이 명시된 전체 범위 안에 있을 때만 역방향을 무너뜨린다.

몇 번의 대입으로 양방향의 보편적 성립을 대신할 수는 없다. p⇒q는 p에서 x=2를 얻어 x²=4가 된다는 일반적인 대입으로 설명하고, q⇒p는 x²=4의 해가 ±2라는 사실에 x≥0을 적용해 x=2만 남는 과정을 적는다. 교사는 근거의 첫 단계까지만 제시하고, 학생이 ‘따라서 q이면 p’라는 결론을 직접 완성하게 한다. 학생의 수정 풀이는 “q이면 x=2이고, p이면 q이므로 필요충분조건이다”가 된다.

조건을 바꾼 뒤에도 방향을 구별하기

같은 식을 다시 보되 범위를 실수 전체로 바꾸면 결론이 달라진다. 문제는 “실수 x에 대해 p:x=2, q:x²=4이다. p는 q이기 위한 어떤 조건인가?”이다. p이면 x²=4이므로 정방향은 성립한다. 그러나 q이면 x=2 또는 x=-2이고, -2는 q를 만족하면서 p는 만족하지 않는 실제 반례다. 따라서 이 경우 p는 q의 충분조건이지만 필요조건은 아니다. 앞선 문제와 식의 표현은 같아도 조건이 달라졌으므로, 두 결과를 모순으로 보지 않는다.

재적용할 때는 문제와 범위, 제곱식만 남기고 풀이 과정과 정답 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 q의 모든 실수해를 적은 뒤, 범위 제한이 있는 경우와 없는 경우를 나누어 두 함의를 각각 판단한다. 마지막으로 반례를 찾을 때는 조건은 만족하지만 결론은 거짓인 대상을 골랐는지 직접 대조한다. 이후에는 범위가 바뀐 명제에서 동치가 유지되는지, 충분조건과 필요조건 중 어느 방향만 남는지 식과 이유를 함께 작성하게 한다.