신평동 초등수학과외

복합도형의 넓이를 구할 때 아이가 도형을 한 방향으로만 잘라야 한다고 생각하는 경우가 있습니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 8cm, 세로 6cm인 큰 직사각형의 오른쪽 위에서 가로 3cm, 세로 2cm인 직사각형을 잘라 내면 ㄴ자 모양이 남습니다. 질문은 남은 도형의 넓이를 구하고, 두 직사각형으로 나누는 방법이 하나뿐인지 확인하는 것입니다. 이 글은 실제 학생의 기록이 아니라, 초등수학 수업에서 사용할 수 있는 교육용 예시입니다.

큰 전체와 제거한 부분을 먼저 확인하기

교사는 모눈이 표시된 직사각형 자료를 놓고 큰 직사각형의 가로 8cm와 세로 6cm를 각각 짚어 보게 합니다. 이어서 오른쪽 위에서 제거한 영역의 가로 3cm, 세로 2cm도 따로 표시합니다. 활동 전에는 아이가 두 변의 길이를 읽고 넓이를 구할 수 있는지 확인하되, 이미 알고 있다고 단정하지 않습니다. 아이가 자료에서 제거된 부분을 가리키면 교사는 “큰 전체 안에 실제로 포함된 부분만 빼야 한다”고 설명합니다. 따라서 전체 넓이는 8×6=48cm²이고, 제거한 영역은 3×2=6cm²입니다. 남은 ㄴ자 모양의 넓이는 48-6=42cm²입니다.

한 가지 분해만 가능한 것은 아닌지 살펴보기

교사는 남은 영역을 색으로 표시한 뒤, 경계선을 따라 빈틈이나 겹침 없이 두 직사각형으로 나누어 보게 합니다. 한 방법은 가로로 나누는 것입니다. 위쪽을 잘라 낸 뒤 남은 아래쪽 직사각형은 8cm×4cm이고, 오른쪽에 남은 부분은 5cm×2cm입니다. 아이가 두 조각을 모눈 자료 위에 놓아 큰 ㄴ자 모양을 빠짐없이 복원하면 8×4+5×2=32+10=42cm²임을 확인할 수 있습니다.

이번에는 세로로 나누어 보게 합니다. 왼쪽 직사각형은 5cm×6cm이고, 오른쪽 아래 직사각형은 3cm×4cm입니다. 아이가 두 조각을 다시 놓을 때 서로 겹치지 않고 빈 공간도 생기지 않는지 살핍니다. 그러면 5×6+3×4=30+12=42cm²가 됩니다. 두 계산의 모양은 다르지만 같은 남은 영역을 나누었으므로 넓이의 합은 같습니다. “ㄴ자 모양은 한 방향으로만 나눌 수 있다”는 설명은 이 조건에 맞지 않으며, 겹침과 빈틈이 없는 여러 분해가 가능합니다.

교사의 시범 뒤 아이가 직접 다시 계산하기

아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 교사는 먼저 제거한 오른쪽 위 영역을 손가락으로 짚고, 한 조각을 옮겨 두 직사각형이 전체 남은 모양을 이루는 모습을 시범으로 보일 수 있습니다. 그다음에는 해설과 정답을 가리고, 문제와 모눈 자료는 그대로 둡니다. 아이는 다시 가로 분해 또는 세로 분해 중 한 방법을 선택해 남은 영역을 표시하고, 각 조각의 가로와 세로를 읽어 식을 세웁니다. 조각을 직접 옮기거나 경계선을 그려 겹침과 누락이 없음을 보이면 말로 설명한 것과 같은 확인 근거로 삼을 수 있습니다. 마지막에는 계산한 42cm²가 큰 직사각형의 넓이에서 제거한 영역을 뺀 값과 같은지 비교합니다.

넓이와 경계를 구별하는 새 문제

이어서 같은 8cm×6cm 직사각형에서 오른쪽 위 3cm×2cm를 잘라 낸 뒤, 오목하게 들어간 경계를 따라가 보게 합니다. 여기서 3cm와 2cm의 선은 남은 도형의 경계에 포함되지만, 넓이에서 다시 빼는 제거 영역의 크기와 같은 의미는 아닙니다. 아이는 자료에서 잘라 낸 부분을 가리키고, 도형 안에 남은 부분과 바깥으로 없어진 부분을 구별해 봅니다. 넓이를 구할 때는 포함된 영역의 크기를 계산하고, 경계를 살필 때는 도형의 바깥선을 따라 선분을 확인한다는 차이를 행동으로 보여 주는 것이 다음 확인입니다. 추가로 가로 9cm, 세로 2cm인 제거 영역을 8cm×6cm 종이 안에 변과 평행하게 온전히 놓으려는 조건을 제시할 수도 있습니다. 이때는 너비 9cm가 종이의 가로 8cm보다 커 그대로 들어갈 수 없으므로, 실제로 종이 안에 포함되는 범위를 먼저 살펴야 합니다.