신평동 수학과외

길이비 1:2를 그대로 답으로 쓴 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “닮음비가 1:2인 두 정육면체의 부피비는?”이라는 질문에 학생은 1:2라고 적었습니다. 이 답은 주어진 닮음비를 그대로 옮긴 것이지만, 닮음비는 대응하는 길이의 비를 뜻합니다. 문제에서 구하는 것은 한 모서리의 길이가 아니라 정육면체의 부피이므로, 길이비를 부피에 맞는 방식으로 바꾸어야 합니다.

교사는 먼저 “1:2라는 수가 두 정육면체에서 무엇의 비인가요? 문제에서 최종적으로 구하라고 한 것은 무엇인가요?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하더라도, 처음 답을 맞다고 단정하거나 틀린 원인을 곧바로 정하지 않고 길이와 부피를 차례로 구분합니다. 닮음비 1:2는 대응하는 모서리 길이가 1 대 2라는 뜻이고, 정육면체의 부피는 한 모서리의 길이를 세 번 곱해 구한다는 점을 확인합니다.

길이비가 부피비로 바뀌는 까닭

교사는 두 정육면체의 대응하는 모서리 길이를 각각 1과 2로 생각해 보게 합니다. 정육면체는 가로, 세로, 높이가 모두 같은 길이인 입체이므로, 한 변의 길이가 1인 정육면체의 부피는 1³이고 한 변의 길이가 2인 정육면체의 부피는 2³입니다. 따라서 부피비는 1³:2³=1:8입니다.

이때 중요한 것은 숫자 3을 임의로 붙이는 것이 아니라, 부피가 세 방향의 길이를 곱해 정해진다는 점입니다. 길이비를 한 번 적용하면 길이의 비교이고, 같은 비율이 가로·세로·높이의 세 방향에 적용되는 정육면체의 경우에 부피비를 구할 때 세제곱을 사용합니다. 학생이 처음에 1:2라고 쓴 것은 길이비와 부피비를 구분하지 않은 판단일 수 있습니다. 다만 이 한 답만으로 계산 실수인지 개념 이해의 문제인지 확정하지 않고, 같은 문제에서 왜 세제곱이 필요한지 말하고 식으로 나타내는지를 함께 살핍니다.

설명 뒤 학생이 다시 세우는 풀이

교사는 먼저 길이비 1:2를 부피에 연결하는 첫 단계인 1³:2³을 함께 써 보입니다. 그다음 학생에게 “첫 번째 정육면체의 부피에 해당하는 값은 무엇이고, 두 번째 정육면체에서는 왜 2를 세 번 곱하나요?”라고 확인하며 나머지 계산을 직접 이어 가게 합니다. 학생은 처음의 1:2에서 판단을 바꾸어, 길이비가 각 모서리 방향에 적용된다는 조건을 문제와 연결합니다. 이어 1³=1, 2³=8을 계산하고, 최종 답을 1:8이라고 정리합니다.

풀이 순서를 따라 적은 것만으로 끝내지 않고, 교사는 학생이 수정 풀이와 답을 가린 상태에서 같은 문제를 다시 시작하게 합니다. 학생이 세제곱을 써야 하는 이유에서 막히면 세 방향 중 한 방향을 함께 확인한 뒤 나머지 방향과 계산은 다시 시도하게 합니다. 반대로 개념은 설명하지만 2³ 계산에서 막힌다면 계산 단계에 필요한 도움만 조절합니다. 다른 방식으로 설명하더라도 길이비가 세 방향에 적용된다는 조건과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

수정한 답은 원래 조건에 다시 대입해 확인합니다. 모서리 길이의 비가 1:2라면 부피를 각각 1³과 2³으로 나타낼 수 있으므로, 계산 결과는 1:8이 되어야 합니다. 이는 처음의 1:2를 반복해서 읽는 검산이 아니라, 정육면체 부피의 조건에 실제 값을 넣어 결과가 맞는지 확인하는 과정입니다. 학생이 답의 근거를 “길이비가 세 방향에 적용되므로 세제곱한다”고 설명하는지도 함께 확인합니다.

새 적용 문제로 “닮은 입체도형의 대응하는 길이비가 1:3일 때 부피비는?”을 제시할 수 있습니다. 기본 문제와 달라진 것은 두 번째 도형의 길이비가 2가 아니라 3이라는 점이며, 대응하는 길이가 모든 방향에서 같은 비율로 변하는 닮은 입체도형이라는 조건에서는 앞서 사용한 방법을 적용할 수 있습니다. 따라서 부피비는 1³:3³=1:27입니다. 이후 학생이 이 문제를 이전 풀이와 답을 가린 상태에서 스스로 해결하고, 길이비와 부피비를 구분해 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다. 필요하다면 한 변이 1cm인 정사각형을 한 변이 5cm인 정사각형으로 확대했을 때 넓이가 25cm²가 되는 비교 문제를 사용해, 길이비는 넓이에서 제곱으로 바뀐다는 차이까지 이어서 살펴볼 수 있습니다.