송현지구 고등수학과외

“확률변수를 1/10배 하면 분산은 몇 배인가?”에서 멈춘다면

배움노트 고등수학 수업에서 확률과 통계의 이항분포를 다룰 때는 계산 결과보다 조건과 배율을 연결하는 과정이 중요하다. 다음과 같은 문제를 보자. 확률변수 X가 이항분포 B(10, 0.2)를 따르고 Y=X/10일 때, Y의 평균과 분산을 구하는 상황이다. 이항분포는 성공확률이 같은 독립시행을 정해진 횟수만큼 반복했을 때의 성공 횟수이므로, X는 10번의 시행에서 얻은 성공 횟수이다.

이렇게 답했다면 어떨까. 평균은 0.2, 분산은 1.6/10=0.16이라고 썼다고 하자. 평균 0.2는 X의 기대 횟수 2를 10으로 나눈 값이므로 맞지만, 분산을 단순히 10으로 나눈 부분은 다시 확인해야 한다. 여기서 오답 하나만 보고 공식을 몰랐다고 단정하지 않는다. 횟수 10, 성공확률 0.2, 시행의 독립성 중 어떤 조건을 사용했는지 설명하게 하고, 기대 횟수와 특정 확률을 혼동한 것은 아닌지도 묻는다. 특히 “확률변수를 1/10배 하면 분산은 몇 배인가?”를 말로 먼저 답하게 한다.

이항분포의 조건과 분산의 배율을 따로 대조하기

먼저 X의 성격을 확인한다. X는 성공 횟수이므로 E(X)=np=10·0.2=2이고, V(X)=np(1-p)=10·0.2·0.8=1.6이다. 이항분포의 확률을 구할 때는 같은 성공확률의 독립시행을 정해진 횟수 반복한다는 조건과 해당 횟수에서 성공이 배치되는 경우의 수를 함께 고려한다. 따라서 식만 대입하기 전에 시행마다 성공확률과 독립성이 유지되는지 원래 조건과 대조해야 한다.

Y=X/10은 X에 1/10을 곱한 확률변수다. 평균은 같은 배율로 E(Y)=E(X)/10=2/10=0.2가 되지만, 분산은 배율을 한 번 더 적용한다. 즉 V(Y)=(1/10)²V(X)=1.6/100=0.016이다. 학생에게 후보인 0.16과 0.016을 나란히 적게 한 뒤, 어느 식이 분산의 변환 규칙과 맞는지 직접 표시하게 한다. 비율의 표준편차는 횟수의 표준편차의 1/10이고, 분산은 표준편차의 제곱이므로 분산은 1/100배가 된다는 점도 연결한다.

가린 풀이에서 성공 횟수와 비율을 다시 구분하기

수정 풀이에서는 학생이 E(Y)=2/10=0.2, V(Y)=1.6/100=0.016을 직접 적고, 평균과 분산에 적용한 배율이 서로 다른 이유를 설명하도록 한다. 정답은 평균 0.2, 분산 0.016이다. X의 값은 0≤X≤10인 성공 횟수이며, 그 평균은 2, 분산은 1.6이다. 표준편차는 √1.6이므로 분산 자체와 구별해야 한다.

이후 문제 자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 X가 B(10,0.2)를 따를 때 평균과 분산을 구하게 한다. E(X)=np=10·0.2=2, V(X)=np(1-p)=10·0.2·0.8=1.6을 각각 쓰고, X가 횟수라는 조건도 표시하게 한다. 표현만 바꾼 문제가 아니라 성공 횟수와 성공비율이 달라지면 평균과 분산의 배율도 달라진다는 점을 확인하는 과정이다. 마지막에는 성공비율의 분산을 1/100배로 정한 근거를 학생이 다시 적게 하고, 다음 문제에서도 이항식만 대입하기 전에 동일한 성공확률과 독립시행이라는 원 조건을 먼저 확인하는지 살핀다.