송현지구 수학과외

대표 문제에서 기준량이 바뀌는 순간

다음 문제에서 학생이 “100을 10% 올린 뒤 10% 내리면 원래 100이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 처음 수가 100이라는 점은 맞지만, 최종값도 100이라고 한 결론은 조건과 맞지 않습니다. 이 문제에서 중요한 것은 10%라는 비율 자체보다 각 변화가 어느 수를 기준으로 하는지입니다.

먼저 100을 10% 올립니다. 100의 10%는 10이므로 첫 변화 뒤의 값은 100+10=110입니다. 또는 100에 증가 배율 1.1을 곱해 100×1.1=110으로 구할 수 있습니다. 이제 10%를 내릴 때 기준이 되는 수는 처음의 100이 아니라, 첫 변화가 끝난 뒤의 110입니다. 따라서 110의 10%인 11을 빼야 하며, 110-11=99가 됩니다. 두 변화를 한 식으로 나타내면 100×1.1×0.9=99입니다.

오답의 원인을 확인하는 질문

교사는 “두 번째 10%는 100의 10%인가, 아니면 첫 번째 변화 뒤의 수의 10%인가?”라고 묻고, 학생이 각 단계의 기준량을 말하거나 직접 적어 보게 합니다. 학생이 “10%를 올리고 10%를 내렸으니 서로 없어진다.”고 설명한다면, 비율의 크기만 비교하고 기준량이 달라진 점을 놓쳤을 가능성이 있습니다. 반대로 기준량은 110이라고 말하면서도 110-10으로 계산한다면, 개념보다 계산 과정에서 실수가 난 것인지 살펴볼 수 있습니다.

학생이 막힌 이유를 바로 설명하지 못해도 괜찮습니다. 교사는 첫 단계인 100×1.1=110까지만 함께 계산한 뒤, “이제 10%를 내릴 때 어떤 수를 기준으로 해야 할까?”라고 이어서 묻습니다. 학생이 100과 110을 나란히 적고 두 번째 기준량을 고르게 하면, 처음 답인 “원래 100이다.”에서 바꾸어야 할 판단이 무엇인지 문제 조건과 연결할 수 있습니다.

설명 뒤 학생이 다시 구성하는 풀이

학생은 대표 문제의 조건과 이전 풀이를 확인하되, 정답과 풀이 순서를 가린 상태에서 다시 시작합니다. 먼저 원래 값 100에 10% 증가를 적용해 100×1.1=110이라고 씁니다. 여기서 110은 최종 답이 아니라 두 번째 변화의 기준량이라는 점을 덧붙입니다. 이어 110에 10% 감소 배율 0.9를 곱해 110×0.9=99를 구합니다.

학생이 “처음 100에서 10을 더했으므로 110이 되었고, 두 번째 10%는 110에서 계산하므로 11을 빼야 한다.”고 말하거나 적는다면, 식과 조건을 연결해 풀이한 것입니다. 반대로 표시만 하고 답을 쓰지 못하면, 기준량을 고르는 단계와 감소량을 계산하는 단계를 나누어 다시 돕습니다. 다른 풀이를 사용하더라도 각 변화의 기준량과 계산 결과가 문제 조건에 맞으면 인정할 수 있습니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산할 때는 두 배율의 곱을 먼저 확인합니다. 1.1×0.9=0.99이므로, 원래 값의 99%가 남습니다. 따라서 100×0.99=99가 되어 수정 풀이의 결과와 일치합니다. 이는 10% 증가와 10% 감소가 같은 기준량에서 서로 상쇄되는 것이 아니라, 두 번째 변화의 기준량이 달라 최종값이 원래 값보다 작아진다는 점도 보여 줍니다.

새 문제로 “200을 10% 늘린 뒤 그 결과를 10% 줄이면 얼마인가?”를 제시할 수 있습니다. 이전 풀이와 정답은 가리고, 200과 두 변화의 조건은 보이게 한 뒤 학생이 직접 해결하도록 합니다. 첫 단계는 200×1.1=220이고, 두 번째 단계의 기준량은 220이므로 220×0.9=198입니다. 따라서 답은 198입니다. 원래 수가 100에서 200으로 바뀌어도 기준량을 단계마다 새로 정하는 방법은 그대로 쓸 수 있습니다.

같은 설명이 항상 맞는지 더 구분할 필요가 있을 때는 “10,000원을 25% 올린 뒤 오른 금액에서 25% 내리면 얼마인가?”를 선택 자료로 사용할 수 있습니다. 10,000×1.25=12,500이고, 두 번째 감소는 12,500을 기준으로 하므로 12,500×0.75=9,375원입니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가린 뒤 기준량을 먼저 정하는지, 계산 결과의 근거를 설명하는지, 숫자가 달라진 새 문제에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.