이천동 고등수학과외

미적분Ⅱ의 급수 단원에서는 정답 숫자보다 그 숫자가 무엇의 극한인지 구분하는 과정이 중요하다. 다음 문제에서 식과 범위를 먼저 확인해 보자.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n$의 합을 구하라. 이때 “일반항 $\left(\frac12\right)^n$이 0으로 가므로 급수의 합도 0이다”라고 답했다면, 계산 결과만 고치기보다 어떤 대상을 극한으로 본 것인지 확인해야 한다.

항의 극한과 부분합의 극한을 구분하기

먼저 확인 질문을 던진다. 급수의 합은 한 항의 극한인가, 아니면 앞 항들을 더한 값의 극한인가? $\left(\frac12\right)^n\to0$이라는 사실은 급수가 수렴하기 위한 필요한 단서일 수 있지만, 그것만으로 합을 0이라고 정할 수는 없다. 급수의 합은 부분합 $S_N$을 만든 뒤 그 부분합의 극한으로 정의된다.

따라서 학생이 직접 첫 몇 항을 적고 $S_1,S_2,S_3$을 계산하게 한다. $1/2$, $1/2+1/4$, $1/2+1/4+1/8$처럼 부분합을 표시하면, 항 하나의 크기와 지금까지 더한 값이 서로 다른 대상임을 눈으로 대조할 수 있다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 부분합을 만들 수 있는지와 공비 조건을 알고 있는지를 함께 확인한다.

공식의 조건을 확인한 뒤 한 단계만 제시하기

교사는 첫 항과 공비를 표시한다. 첫 항은 $a=\frac12$, 공비는 $r=\frac12$이다. 첫 항이 0이 아닌 등비급수는 $|r|<1$일 때 합이 $\frac{a}{1-r}$로 정리된다. 여기서는 $\left|\frac12\right|<1$이므로 공식을 적용할 수 있다. 다만 공식을 바로 대입해 끝내지 않고, 부분합의 일반식이 어떤 극한으로 이어지는지 한 단계만 제시한다.

$\displaystyle S_N=\frac12+\frac14+\cdots+\left(\frac12\right)^N=1-\left(\frac12\right)^N$이다. 이제 남은 극한 계산과 공식 대입은 학생이 직접 적는다. 이렇게 답했다면 학생은 $\frac{1/2}{1-1/2}=1$이라고 수정할 수 있다. 정답은 $1$이며, $\left(\frac12\right)^N\to0$이므로 $S_N\to1$이라는 정의에 따라 검산된다.

범위를 바꾸어 풀이와 정답을 다시 대조하기

같은 공비라도 시작 번호가 달라지면 첫 항과 합이 달라진다. 문제와 조건만 남긴다. $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n$의 합을 구하라. 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 $n=0$일 때의 첫 항 $1$, 공비 $\frac12$, 수렴 조건 $|r|<1$을 직접 표시하게 한다.

학생은 $\displaystyle \frac{1}{1-\frac12}=2$라고 풀고, 정답 $2$를 얻는다. 이는 앞 문제의 합 $1$에 $n=0$에서 새로 포함된 항 $1$을 더한 결과이기도 하다. 표현만 바뀐 것이 아니라 합산 범위가 실제로 달라졌는지 살펴보는 대조다.

마지막으로 대표 문제의 식, 범위, 필요한 자료만 남기고 풀이와 정답을 다시 가린다. “급수는 한 항의 극한인가 앞 항들을 더한 값의 극한인가?”에 답할 근거로 부분합의 일반식과 공비의 범위를 고른 뒤 수정 풀이를 다시 쓰게 한다. 공식값을 기억해 쓰는 데 그치지 않고, 식의 시작 번호와 성립 조건을 표시하고 정답까지 스스로 검산하는지를 다음 학습에서 확인한다.