대명동 고등수학과외

조건을 읽지 않으면 생기는 대표 오답

합성함수와 역함수를 다루는 수업에서 다음과 같은 문제가 나왔다고 하자. 함수 f:(−∞,0]→[0,∞), f(x)=x²의 역함수를 구하는 문제다. 이때 학생이 f⁻¹(x)=√x라고 답했다면, 식의 모양만 보고 제곱근의 양의 값을 선택했을 가능성이 있다. 그러나 이 함수의 원래 입력은 x≤0으로 제한되어 있다. 원래 정의역을 제한하지 않으면 x²은 양의 입력과 음의 입력을 같은 출력으로 보내 일대일 함수가 되지 않지만, 음수 쪽만 사용하면 각 출력에 대응하는 입력이 하나로 정해진다. 따라서 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 먼저 “역함수의 출력은 원래 정의역의 어느 쪽 부호여야 하는가?”라고 확인한다.

부호와 정의역을 직접 바꾸어 쓰기

학생이 함수 적용 순서를 헷갈린 것인지, 역함수에서 정의역과 치역을 바꾸는 절차를 빠뜨린 것인지 구분하려면 말로만 설명하지 않고 등식을 직접 쓰게 한다. y=x²에서 원래 조건 x≤0을 적용하면 입력 x는 y에 대해 x=−√y가 된다. 여기서 역함수의 입력은 원래 함수의 출력 범위인 [0,∞)이고, 역함수의 출력은 원래 입력 범위인 (−∞,0]이다. 그러므로 기호를 바꾸어 f⁻¹(x)=−√x, x≥0이라고 정리한다. 학생은 두 후보 √x와 −√x 중 어느 것이 원래 입력 조건을 만족하는지 표시하고, 임의의 t≤0을 대입해 직접 대조할 수 있다. 실제로 f⁻¹(f(t))=−√(t²)=t이며, t가 음수 또는 0일 때만 마지막 등식이 성립한다. 반대로 양의 가지를 택하면 t≤0인 원래 입력을 되돌리지 못한다. 단순히 도형의 모양을 외우는 것이 아니라 정의역과 치역의 방향을 확인해야 하는 이유다.

표현이 달라져도 대응을 먼저 확인하기

수정 풀이가 끝나면 같은 식의 기호만 바꾸는 연습과 실제 조건이 달라지는 문제를 구별한다. 예를 들어 일대일대응 f의 그래프에 점 (2,5)가 있다는 조건이 주어졌다면, 먼저 f(2)=5라는 대응을 적는다. 역함수는 이 대응을 되돌리므로 f⁻¹(5)=2이고, 그래프의 대응점은 (5,2)이다. 좌표를 바꾸는 것은 역함수 그래프가 직선 y=x에 대하여 원래 그래프와 대칭이라는 사실과 연결되지만, 함숫값을 구할 때는 먼저 원래 함수의 입력과 출력을 구분해야 한다. 재적용할 때는 이 문제의 조건과 필요한 그래프 또는 점의 정보를 남겨 두고, 풀이 과정과 정답, 좌표를 바꾸라는 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 주어진 점에서 f의 대응을 쓰고, 역함수의 입력과 출력이 무엇인지 표시한 뒤 대응점을 결정한다. 이후 처음 문제로 돌아가 f:(−∞,0]→[0,∞), f(x)=x²의 조건을 다시 제시하되 정답은 보이지 않게 한다. 경계값 0과 제외되는 양의 입력을 표시하고, 같은 개념이라도 이번에는 부호 조건을 판단해야 한다고 한 문장으로 적게 한다. 기호만 달라진 문제라면 한 입력이 원래 함수에서 출력으로 이동한 뒤 역함수에서 다시 입력으로 돌아오는 두 단계를 써 보게 하며, 다음 점검에서는 제곱근의 부호와 역함수의 정의역을 각각 확인한다.