봉덕동 고등수학과외

“이번 구간에 분모 0이 들어 있는가?”라는 질문에서 계산이 멈추는 장면으로 시작한다. 문제는 $f(x)=1/x$, 정의역은 [1,2]이고 최댓값과 최솟값을 구하는 것이다. 이때 먼저 계산 결과를 찾기보다 함수의 정의와 구간의 조건을 확인해야 한다. 분수식은 분모가 0이면 정의되지 않으므로, 주어진 구간 안에 금지되는 입력이 있는지부터 살핀다. 이번 구간에서는 $1\le x\le2$이므로 분모가 0이 되지 않는다.

발산한다는 말보다 먼저 확인할 연속성

이렇게 답했다면 오답의 핵심은 “분수함수는 발산하니 최댓값이 없다”는 일반적인 인상을 이번 조건에 그대로 적용한 데 있다. $1/x$는 $x=0$에 가까워질 때 값이 제한 없이 커질 수 있지만, 그것만으로 모든 구간에서 최댓값이 없다고 결론 내릴 수는 없다. 먼저 한 점에서 함숫값이 존재하는지, 그 점으로 다가갈 때의 극한이 존재하는지, 두 값이 일치하는지를 구분해야 한다. 이어서 닫힌 구간 전체에서 함수가 연속인지 정리의 가정과 대조한다.

확인 질문은 간단하지만 답은 직접 표시해야 한다. “이번 구간에 분모 0이 들어 있는가?”에 대해 구간의 양 끝과 내부를 적어 보고, 금지되는 입력이 있는지 학생이 표시한다. [1,2]에는 0이 없으므로 $1/x$는 이 구간에서 연속이다. 따라서 닫힌 구간의 연속함수는 최댓값과 최솟값을 갖는다는 조건을 적용할 수 있다. 여기서 교사는 정리의 결론만 말하지 않고, 왜 이 문제에 사용할 수 있는지까지 식과 구간으로 비교하게 한다.

양수 구간에서 후보를 고르고 원래 조건과 대조하기

그다음 학생은 $1\le x\le2$에서 $x$가 커질수록 양의 역수 $1/x$가 작아진다는 관계를 확인한다. 끝점 후보를 골라 $f(1)=1$, $f(2)=1/2$를 계산하고, 어느 값이 큰지 비교한다. 이 수치 대입은 함수의 전체 성질을 대신하는 것이 아니라 후보가 실제로 조건을 만족하는지 확인하는 부분 검산이다. 학생이 직접 수정해 “최댓값은 1이고 $x=1$에서, 최솟값은 $1/2$이고 $x=2$에서 얻는다”고 쓰게 한다.

검산은 부등식으로 이어 간다. $1\le x\le2$이고 $x$가 양수이므로 역수를 취할 때 부등호 방향이 바뀌어 $1/2\le1/x\le1$이 된다. 양 끝의 등호가 각각 $x=2$, $x=1$에서 실제로 달성되므로 최댓값과 최솟값이 존재한다. 처음의 오답처럼 “발산”이라는 단어만으로 결론을 내리지 않고, 정의역과 연속성, 값의 범위를 순서대로 대조한 결과다.

조건을 남긴 채 구간을 바꾸어 다시 판단하기

설명을 덮은 뒤에는 문제의 식 $f(x)=1/x$, 정의역 $(0,1]$만 남겨 두고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 이번에는 닫힌 구간 [1,2]와 달리 왼쪽 끝점 0이 포함되지 않았다는 점을 먼저 표시한다. $x$는 양수이므로 모든 함수값은 1 이상이고, $x=1$에서 최솟값 1을 얻는다. 그러나 $x$가 0에 가까워질수록 $1/x$는 제한 없이 커지므로 최댓값은 존재하지 않는다.

학생은 $x$가 허용되는 범위에 있을 때 $x/2$도 더 작은 양수로 선택할 수 있고, 그때 $1/(x/2)=2/x$가 되어 값을 더 크게 만들 수 있음을 직접 적는다. 따라서 어떤 후보를 잡아도 더 큰 함수값이 생겨 최댓값이 없다는 것을 확인한다. 처음 문제와 식은 같지만 정의역의 끝점 조건이 달라 결론도 달라진다. 마지막으로 “이번 구간에 분모 0이 들어 있는가?”에 대한 답, 닫힌 구간에서의 최댓값·최솟값, 열린 끝점이 있는 구간에서의 판단을 학생의 말과 식으로 함께 확인한다. 이후에는 끝값만 대입하기 전에 구간 내부의 끊김과 금지 입력을 먼저 표시하는지 점검한다.