대명동 수학과외

5번째 항을 13으로 계산한 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 첫항이 3이고 공차가 2인 등차수열에서 5번째 항을 구하는 문제에 3+5×2=13이라고 썼습니다. 계산 자체는 3+10=13으로 맞지만, 문제에서 요구한 5번째 항의 위치와 공차를 더한 횟수가 식에 정확히 반영되지는 않았습니다. 등차수열은 첫항에서 다음 항으로 한 칸 이동할 때마다 공차를 한 번 더합니다. 따라서 제1항 3에서 제5항까지 이동하는 간격은 5칸이 아니라 4칸입니다.

이 문제에서 필요한 식은 3+(5-1)×2입니다. 여기서 5는 목표 항의 번호이고, 5-1은 첫항에서 제5항까지 이동한 횟수입니다. 그러므로 3+4×2=11이 되어 5번째 항은 11입니다. 처음 답이 틀렸다는 사실과 학생이 왜 5를 곱했는지는 구분해서 살펴볼 필요가 있습니다. 문제의 ‘5번째’라는 말을 공차를 더하는 횟수로 바로 받아들였는지, 아니면 항의 위치와 이동 간격을 아직 구별하지 못한 것인지는 풀이 과정을 확인해야 알 수 있습니다.

항 번호와 이동 간격을 나누어 확인하기

교사는 먼저 “첫항 3은 몇 번째 항에 놓이나요?”라고 묻고, 3을 제1항 자리에 놓게 합니다. 이어 “제1항에서 제5항으로 가려면 몇 번 이동하나요?”라고 질문하며 항 사이의 간격을 직접 세어 보게 합니다. 학생이 바로 설명하지 못하면 교사가 3 다음의 항 하나를 함께 써서 3, 5를 보여 주고, 그다음부터는 학생이 이어서 써 보도록 돕습니다. 이때 3에서 5로 한 번, 5에서 7로 두 번, 7에서 9로 세 번, 9에서 11로 네 번 이동한다는 점을 확인합니다.

이 과정을 통해 학생이 공차의 의미는 알고 있지만 항 번호를 더한 횟수로 사용한 것인지, 문제의 요구를 잘못 읽은 것인지 나누어 볼 수 있습니다. 개념을 말로 설명하면서도 식을 세울 때 5를 그대로 곱한다면 실제 문제에 적용하는 단계에서 다시 막힌 것이므로, 첫항과 목표 항 사이의 간격을 식으로 옮기는 연습이 필요합니다. 반대로 식은 3+4×2로 고쳤지만 계산에서 실수한다면 개념 설명을 반복하기보다 4×2와 3의 합을 따로 확인하게 합니다.

설명 뒤 학생이 다시 세운 풀이

교사는 “첫항은 이미 제1항에 있으므로 공차를 더하지 않은 상태에서 시작한다”고 설명합니다. 제2항은 3+1×2, 제3항은 3+2×2, 제4항은 3+3×2, 제5항은 3+4×2가 됩니다. 따라서 일반적으로 첫항에서 n번째 항까지 갈 때 공차를 더하는 횟수는 n-1번이지만, 이 관계는 항 번호와 이동 간격을 구분할 수 있을 때 적용됩니다.

설명을 들은 뒤 학생은 처음 식에서 5×2를 사용한 부분을 4×2로 바꾸고, “5번째 항이므로 다섯 번 더하는 것이 아니라 제1항에서 네 번 이동한다”고 문제 조건과 연결해 말해 봅니다. 이어 3+(5-1)×2=3+8=11을 계산하고, 구해야 하는 값이 공차를 더한 결과가 아니라 수열의 5번째 항이라는 점까지 확인합니다. 단순히 식에 표시만 남기는 것으로 끝내지 않고, 왜 4를 사용했는지 설명한 뒤 답 11을 직접 완성하게 하는 것이 중요합니다.

풀이 순서를 따라 쓴 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건만 보면서 다시 시작해 봅니다. 혼자 첫 식을 세우지 못한다면 항 번호와 이동 횟수 중 어느 단계에서 막혔는지 확인해 도움을 조절합니다. 다른 방식으로 항을 차례로 나열해 답을 구하더라도 첫항 3, 공차 2, 제5항이라는 조건과 계산이 맞다면 같은 근거를 가진 풀이로 인정할 수 있습니다.

나열과 새 조건으로 적용 범위 확인하기

원래 조건에 대한 검산은 항을 직접 나열하는 방식으로 할 수 있습니다. 첫항 3에서 공차 2씩 더하면 3, 5, 7, 9, 11이 되고, 다섯 번째에 11이 놓입니다. 이는 수정한 식의 결과와 일치하며, 13은 이 조건에서 5번째 항이 아닙니다. 풀이를 다시 반복하기보다 수열의 실제 항 위치를 확인하는 검산입니다.

이제 조건을 바꾼 새 문제를 적용합니다. 첫항이 7이고 공차가 4인 등차수열에서 27은 몇 번째 항인지 묻는 문제입니다. 이전 문제와 달리 항의 값을 구하는 것이 아니라 항 번호를 찾아야 하므로, 먼저 항 번호를 자연수 n이라 둡니다. 그러면 7+4(n-1)=27이고, 4(n-1)=20, n-1=5, n=6입니다. 공차를 다섯 번 더해 27에 도달했지만, 첫항 7이 제1항이므로 항 번호는 6이라는 점이 핵심입니다.

필요하다면 첫항이 5이고 공차가 2일 때 세 번째 항을 확인하는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 제3항까지는 두 번 이동하므로 5+(3-1)×2=9이고, 5+3×2=11은 제4항에 해당합니다. 숫자만 바꿔 같은 계산을 반복하기보다, 학생이 새로운 문제에서 항 번호와 더한 횟수를 다시 구분하고 그 이유를 설명하는지를 확인합니다. 이후에는 수정 풀이를 가린 상태에서 새 조건의 식을 세우고, 답의 근거를 말하며, 다른 항 번호에도 같은 관계를 조건에 맞게 적용하는지를 다음 확인 내용으로 삼습니다.