동춘지구 수학과외

(2a)³에서 계수와 문자를 함께 보는 방법

거듭제곱의 뜻을 확인하기 위해 다음 문제를 교육용 상황으로 다뤄 보겠습니다. 문제는 (2a)³을 전개하라는 것입니다. 이를 2a³이라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 문자 a에는 세제곱을 적용했지만, 괄호 앞의 계수 2에는 적용하지 않은 결과입니다. 문제에서 세제곱을 받는 대상은 a만 따로 떼어 낸 식이 아니라 괄호 전체인 2a이므로, 계수와 문자를 함께 살펴봐야 합니다.

여기서 구해야 하는 것은 괄호 안의 식 전체를 세 번 곱한 결과입니다. 따라서 (2a)³은 (2a)×(2a)×(2a)로 해석합니다. 2a³은 2×a×a×a라는 뜻이어서 원래 식의 반복 곱셈과 다릅니다. 단순히 지수를 문자 옆에 옮기는 것이 아니라, 지수가 붙은 괄호 안의 모든 인수에 같은 연산이 적용되는지 확인하는 것이 핵심입니다.

오답의 이유를 풀이 과정에서 구분하기

교사는 처음부터 오답의 원인을 하나로 단정하지 않고, “이 식에서 세 번 곱해지는 대상은 무엇이라고 보았나요?”라고 묻습니다. 학생이 “a가 세 번 나오니까 a³이라고 했어요”라고 설명한다면, 지수를 문자에만 적용한 판단이 있었음을 확인할 수 있습니다. 반대로 거듭제곱을 괄호 전체의 반복 곱셈으로 설명할 수 있는데도 계산 중 2를 한 번만 썼다면, 개념보다 계산 과정에서 달라진 부분을 다시 살펴봅니다.

학생이 이유를 바로 말하지 못해도 괜찮습니다. 교사는 식을 두 부분으로 나누어 2와 a가 함께 하나의 인수 2a를 이룬다는 점을 짚고, (2a)³에서 괄호가 세 번 반복된다는 것까지 함께 확인합니다. 그다음 “각 괄호에서 2는 몇 번 곱해지고, a는 몇 번 곱해질까요?”라고 물으며 학생이 다음 계산을 직접 이어 가도록 돕습니다.

설명 후 학생이 다시 세우는 풀이와 검산

학생은 처음의 2a³에서 괄호 안의 모든 인수에 세제곱이 적용된다는 판단으로 바꾸어 풀이를 다시 시작합니다. 먼저 (2a)³=(2a)(2a)(2a)라고 쓰는 이유는 세제곱이 같은 식을 세 번 곱한다는 뜻이기 때문입니다. 이어서 계수와 문자를 분리해 2×2×2×a×a×a로 정리합니다. 계수는 2를 세 번 곱하므로 8이 되고, 문자는 a를 세 번 곱하므로 a³이 됩니다. 따라서 정답은 8a³입니다.

검산할 때는 같은 식을 그대로 외워 반복하기보다 원래의 반복 곱셈으로 결과를 확인합니다. (2a)(2a)(2a)에서 계수 부분은 2×2×2=8이고 문자 부분은 a×a×a=a³이므로 8a³과 일치합니다. 학생이 이 순서를 따라 썼다면 수정 풀이와 답을 가린 뒤 문제만 다시 보게 하고, 괄호 전체를 반복 곱으로 바꾸는 단계부터 재시도하게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 개념 설명이 필요한지, 2×2×2를 계산하는 과정에서 막혔는지를 나누어 도움의 정도를 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 문제로 (2a³b)²을 전개하라를 제시할 수 있습니다. 이번에는 괄호 안에 계수 2와 문자 a, b가 있고, 괄호 전체에 제곱이 적용됩니다. 따라서 (2a³b)(2a³b)로 바꾼 뒤 각 인수를 두 번씩 곱합니다. 2×2=4, a³×a³=a⁶, b×b=b²이므로 답은 4a⁶b²입니다. 이전 문제와 같은 점은 괄호 안의 모든 인수를 같은 지수만큼 곱한다는 것이고, 달라진 점은 a에 이미 지수 3이 있어 지수의 곱셈 결과가 6이 된다는 것입니다.

필요하다면 “같은 밑이면 덧셈에서도 지수를 더한다”는 설명을 구분하기 위해 2⁷+2⁷과 2¹⁴을 비교해 볼 수 있습니다. 앞의 식은 128+128=256이고 뒤의 식은 16,384이므로 서로 같지 않습니다. 지수를 더하는 방법은 같은 밑을 곱할 때 적용되며, 덧셈에서는 그대로 사용할 수 없습니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가린 상태에서 괄호 전체를 반복 곱으로 바꾸는지, 계수와 문자의 변화 근거를 설명하는지, 그리고 새 문제에서도 같은 조건을 정확히 적용하는지를 확인합니다.