연수동 수학과외

대표 문제에서 2+20이라고 답한 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 등차수열의 첫항이 2이고 제10항이 20일 때, 첫 10항의 합을 구하는 문제입니다. 학생이 “2+20=22이므로 답은 22다.”라고 썼다면 첫항과 끝항을 더하는 계산 자체보다, 그 값이 전체 합이라고 판단한 단계가 문제입니다. 2와 20은 첫항과 제10항이라는 두 항의 값일 뿐, 첫 10항을 모두 더한 결과는 아닙니다. 문제에서 묻는 것은 두 끝항의 합이 아니라 1항부터 10항까지의 합이라는 점을 먼저 구분해야 합니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “2와 20을 더한 값은 수열의 몇 개 항을 나타내니?”라고 묻습니다. 학생이 두 항이라고 답할 수 있는지, 또는 첫항에서 제10항까지 어떤 수가 이어지는지 말해 보게 하면서 판단이 달라진 지점을 찾습니다. 첫항에서 제10항까지는 공차를 9번 더한다는 점, 즉 항 번호가 10이라고 해서 공차를 10번 더하는 것은 아니라는 점도 함께 확인합니다. 개념을 말로 설명해도 식을 세울 때 22를 답으로 적는다면, 개념을 모르는 경우와 문제의 요구를 끝까지 반영하지 못한 경우를 나누어 살펴볼 수 있습니다.

끝항을 짝지어 합을 만드는 수정 풀이

교사는 첫항 2와 제10항 20을 짝지으면 합이 22가 된다고 설명합니다. 첫항과 끝항을 한 쌍으로 묶고, 제2항과 제9항, 제3항과 제8항처럼 양끝에서 같은 거리만큼 떨어진 항을 묶으면 각 쌍의 합은 모두 22가 됩니다. 이 성질은 주어진 수열의 항들이 일정한 차이로 늘어나는 등차수열이기 때문에 사용할 수 있습니다. 첫 10항은 10개이므로 2개씩 묶으면 5쌍입니다.

따라서 학생은 처음의 2+20=22에서 멈추지 않고, 그 22가 한 쌍의 합이라는 뜻을 적은 뒤 쌍의 개수를 곱해야 합니다. 합은 10×(2+20)÷2=110입니다. 여기서 10은 더할 항의 개수이고, 2로 나누는 것은 첫항과 끝항의 평균에 항 개수를 곱하는 방식으로 계산하기 때문입니다. 학생이 어려워하면 교사가 한 쌍을 직접 보여 준 뒤, 나머지 쌍의 개수와 전체 합은 학생이 이어서 구하게 합니다. 다른 방법으로 공차를 먼저 구해 항을 나열한 뒤 더하더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

조건에 대입해 결과를 다시 확인하기

이 수열의 공차는 (20-2)÷9=2이므로 첫 10항은 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20입니다. 1부터 10까지의 합은 55이고, 각 항이 그 두 배이므로 수열의 합은 110입니다. 이는 앞의 공식에 다시 숫자를 끼워 넣는 것과 달리 항의 배열을 확인하는 방법입니다. 풀이 순서를 외워 적은 것인지 확인하려면 식과 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고, 왜 22를 다섯 쌍의 합으로 사용했는지 다시 설명하게 합니다. 혼자 막히면 개념에서 막혔는지 곱셈과 나눗셈에서 막혔는지 살펴보고 도움의 정도를 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제로, 첫항이 6이고 제10항이 24인 등차수열의 첫 10항의 합을 생각합니다. 첫항과 제10항의 합은 30이고, 항의 개수는 여전히 10개이므로 양끝의 합이 같은 다섯 쌍을 만들 수 있습니다. 따라서 합은 30×5=150입니다. 이전 문제의 숫자를 그대로 외우는 것이 아니라, 끝항의 합과 쌍의 개수를 새로 확인했는지가 중요합니다.

필요하다면 2, 6과 2, 4, 6을 비교해 볼 수 있습니다. 두 수열은 첫항과 끝항이 같아 보여도 항의 개수가 각각 2개와 3개이므로 합은 8과 12로 달라집니다. 따라서 첫항과 끝항만으로 언제나 합이 결정되는 것이 아니라, 등차수열인지와 몇 개의 항을 더하는지도 함께 알아야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 조건만 보고 풀이를 다시 구성하고, 22 또는 30이 전체 합이 아니라 한 쌍의 합이라는 근거를 설명하는지 확인합니다.