청학지구 수학과외

두 식을 동시에 만족해야 하는 문제와 오답

다음 문제에서 학생이 x=3, y=4라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 y=x+1과 y=x-2를 동시에 만족하는 실수 x, y를 찾는 것입니다. 여기서 ‘동시에’라는 말은 같은 x와 y를 두 식에 모두 넣었을 때 각각 성립해야 한다는 뜻입니다. x=3, y=4를 첫 번째 식에 넣으면 4=3+1이므로 맞지만, 두 번째 식에 넣으면 4=3-2가 되어 4=1이므로 맞지 않습니다. 따라서 이 순서쌍은 한 식만 만족할 뿐 문제의 답이 될 수 없습니다.

교사는 곧바로 학생의 원인을 단정하지 않고 “y=4는 어느 식에서 얻었는지”, “x=3, y=4를 두 식에 모두 대입하면 어떤 결과가 나오는지”를 묻습니다. 학생이 y=x+1에서 y를 구한 뒤 두 번째 조건을 확인하지 않았다면, 조건을 하나만 사용한 것인지 살펴볼 수 있습니다. 반대로 대입의 뜻은 알고 있지만 계산 중 부호를 잘못 바꾸었다면, 처음 세운 식과 계산 단계를 나누어 확인합니다.

같은 y를 나타내는 두 식을 연결하는 방법

두 식에서 y는 같은 값이어야 하므로 한 식의 y 자리에 다른 식의 값을 넣을 수 있습니다. 첫 번째 식에서 y=x+1이므로 두 번째 식의 y도 x+1이어야 합니다. 따라서 x+1=x-2를 세웁니다. 양변에서 x를 빼면 1=-2가 남는데, 이 등식은 어떤 실수 x를 넣어도 바뀌지 않으며 성립할 수 없습니다. 그러므로 이 문제는 x와 y가 존재하지 않아 해가 없다고 결론 내립니다.

학생이 이 판단을 바로 이해하기 어렵다면 교사는 먼저 y를 같은 값으로 놓아야 한다는 부분만 함께 씁니다. 그런 다음 학생이 x+1=x-2를 직접 만들고, 양변에서 x를 없앤 뒤 남은 1=-2를 읽어 보게 합니다. 학생은 처음의 x=3, y=4라는 답을 바꾸어야 하는 이유를 “첫 번째 식만 맞추면 안 되고 두 번째 식도 같은 x와 y로 만족해야 하는데, 두 식을 연결하면 모순이 생긴다”고 문제의 조건과 연결해 설명합니다. 표시만 남기는 데서 끝내지 않고 해가 있는지 없는지까지 답으로 완성합니다.

계산을 반복하지 않는 검산

이번 결론은 원래 두 식의 차이를 살펴보는 방법으로 확인할 수 있습니다. 같은 x에서 y=x+1과 y=x-2의 값 차이는 (x+1)-(x-2)=3입니다. 어떤 x를 넣어도 두 y값은 항상 3만큼 다르므로 같은 y가 될 수 없습니다. 이는 x=3을 다시 넣어 보는 것과 달리 특정 숫자에 의존하지 않고, 두 식이 동시에 성립할 수 없는 이유를 확인하는 검산입니다.

이후에는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 혼자 식을 세우지 못하면 대입 개념을 한 번 더 설명하고, 식은 세우지만 1=-2에서 결론을 내리지 못하면 모순인 등식의 의미를 함께 확인합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 두 식을 모두 만족하는지와 계산이 맞는지를 근거로 판단합니다.

새 조건에 적용하고 더 넓게 비교하기

새 문제로 y=4x-2와 2y=8x+1을 살펴봅니다. 첫 번째 식의 y를 두 번째 식에 대입하면 2(4x-2)=8x+1이므로 8x-4=8x+1입니다. 양변에서 8x를 빼면 -4=1이라는 모순이 남습니다. 따라서 이 문제도 해가 없습니다. 식의 모양은 달라졌지만, 같은 미지수가 두 조건에서 같은 값을 가져야 한다는 점과 대입 후 성립 가능한지 확인하는 방법은 그대로 적용됩니다.

다만 대입 뒤 문자가 사라진다고 항상 해가 없는 것은 아닙니다. 비교 문제 y=x+10, 2y=2x+20에서는 대입하면 2x+20=2x+20이 됩니다. 이 등식은 모든 실수 x에서 성립하므로 y=x+10을 만족하는 순서쌍이 무수히 많습니다. 따라서 다음 확인에서는 학생이 새 문제를 스스로 해결하는지, 해가 없다는 결론의 근거를 말할 수 있는지, 그리고 모순과 항상 참인 등식을 구분해 새 조건에도 적용하는지를 살펴봅니다.