부산 수학과외

근호 안의 조건만 적용했을 때 생기는 오답

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “1/√(x-1)의 실수 정의역은?”이라는 질문에 학생은 “x≥1이다.”라고 풀이했습니다. 근호 안의 값이 음수가 되지 않아야 하므로 x-1≥0, 즉 x≥1이라고 판단한 것입니다. 여기까지는 분수식의 근호 조건을 일부 적용한 것이지만, 식 전체를 계산할 수 있는지까지 확인하지 않아 최종 답으로는 부족합니다.

이 식에서 구해야 하는 것은 근호 안의 조건만이 아니라, 분모를 포함한 전체 식이 실숫값을 갖는 x의 범위입니다. 따라서 “x≥1”이라는 결과가 나온 뒤에는 x=1일 때 식이 실제로 계산되는지 확인해야 합니다. 이 확인을 하지 않으면 근호 조건은 맞게 사용하고도 정의역을 잘못 넓히게 됩니다.

근호 조건과 분모 조건을 함께 확인하기

교사는 학생의 답을 곧바로 계산 실수라고 단정하기보다, “x=1을 식에 넣으면 분모가 어떻게 되니?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면 교사가 먼저 x-1=0이므로 √(x-1)=√0=0이 된다는 부분까지 함께 써 줍니다. 그러면 이 식은 1을 0으로 나누는 형태가 되어 계산할 수 없다는 사실을 확인할 수 있습니다.

이 문제에서는 두 조건을 동시에 만족해야 합니다. 첫째, 제곱근이 실숫값을 가지려면 x-1≥0이어야 합니다. 둘째, √(x-1)가 분모이므로 그 값은 0이 아니어야 합니다. 두 번째 조건은 x-1≠0, 즉 x≠1이라는 뜻입니다. 첫 번째 조건에서 이미 x≥1을 얻었으므로, 여기에 x=1을 제외하면 최종적으로 x>1이 됩니다. 근호 안의 수가 0 이상이라는 조건과 분모가 0이 아니라는 조건을 따로 확인한 뒤 교집합을 취해야 하는 문제입니다.

학생의 수정 풀이와 원래 조건에 대입한 검산

교사의 설명을 들은 뒤 학생은 처음의 “x≥1”에서 x=1을 허용한 판단을 바꾸어 다시 풀이합니다. 먼저 x-1≥0이므로 x≥1이라고 쓰고, 이어서 √(x-1)는 분모이므로 √(x-1)≠0이어야 한다고 적습니다. 제곱근이 0이 되는 경우는 x-1=0, 즉 x=1이므로 이를 제외하여 x>1이라고 결론을 냅니다. 이때 x-1은 식의 근호 안에 있는 수이고, √(x-1)는 분모의 값이라는 점도 구분해 설명합니다.

검산은 같은 부등식을 반복하는 대신 제외된 값과 포함된 범위를 직접 살펴보는 방식으로 진행합니다. x=1이면 분모가 √0=0이 되어 식이 정의되지 않습니다. x<1이면 x-1<0이므로 제곱근이 실숫값을 갖지 못합니다. 반대로 x>1이면 x-1>0이고 √(x-1)>0이므로 분모가 0이 아닙니다. 따라서 x>1이라는 범위가 원래 식의 조건과 일치합니다.

이 과정을 다시 확인할 때는 학생이 처음 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 정의역을 새로 구하게 합니다. 학생이 막히면 개념 설명이 필요한지, x=1을 대입하는 계산에서 막힌 것인지 나누어 보고 도움의 양을 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 근호 조건과 분모 조건을 모두 반영하고 같은 결론에 도달한다면 올바른 풀이로 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제로 1/√(x+2)의 정의역은?을 제시합니다. 문제의 수치만 바뀌었지만, 근호가 분모에 있다는 구조는 같습니다. 먼저 x+2≥0이어야 하므로 x≥-2입니다. 그러나 x=-2이면 분모가 √0=0이 되므로 허용할 수 없습니다. 따라서 x+2>0, 즉 x>-2입니다. 학생이 이전 답을 그대로 옮기는지, 아니면 바뀐 근호 안의 식에 조건을 다시 적용하는지를 확인합니다.

필요하다면 “근호가 있는 식은 근호 안이 0이면 항상 허용된다.”라는 설명이 맞는지도 비교합니다. y=1/√(x+3)에서 x=-3이면 근호 안은 0이지만 분모도 0이 되므로 허용할 수 없습니다. 이 식의 정의역은 x+3>0, 즉 x>-3입니다. 이 비교는 근호 조건만 보는 것과 분모 조건까지 함께 보는 것을 구분하는 데 도움이 됩니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 뒤 같은 구조의 문제를 다시 해결하고, 왜 끝점을 제외했는지 말로 설명하며, 새 수치에서도 조건을 적용하는지를 확인합니다.