부산 고등수학과외

“A에 없는 모든 정수”라는 답에서 시작하기

집합의 연산을 공부하다가 다음과 같이 답했다면, 먼저 답을 바로 고치기보다 어떤 범위를 기준으로 판단했는지 살펴봐야 합니다. 전체집합 U={1,2,3,4,5}, A={1,3}일 때 A의 여집합을 구하는 문제에 “A에 없는 모든 정수”라고 썼다면, 여집합의 의미를 알고 있는지와 기준이 되는 전체집합을 놓쳤는지를 나누어 확인할 필요가 있습니다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 한 줄만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 조건을 다시 읽고 원소를 직접 표시하도록 합니다.

먼저 “여집합을 고르는 범위는 모든 정수인가, U인가?”라고 묻습니다. 여집합은 아무 제한 없는 모든 정수 중에서 고르는 것이 아니라, 주어진 전체집합 U 안에서 해당 집합에 속하지 않는 원소를 고르는 개념입니다. 따라서 이 문제에서는 1, 2, 3, 4, 5만 판단 대상입니다. ‘아닌’이라는 말의 범위가 A에만 적용되는지, U 전체를 벗어나는 의미로 읽었는지도 함께 확인합니다.

원소를 하나씩 대조해 수정 풀이 쓰기

학생이 원소와 부분집합을 혼동하는지 확인하려면 U의 원소를 실제로 적고 A에 속하는지 표시하게 합니다. U의 다섯 원소 중 1과 3은 A에 들어 있으므로 여집합에서는 지웁니다. 여기까지 비교한 뒤 남은 계산은 학생이 직접 이어 가도록 합니다. 기호만 보고 막히면 1, 2, 3, 4, 5 각각에 대해 “A에 속하는가?”를 기록하게 하면 조건의 범위가 분명해집니다.

학생은 U−A를 계산하여 U−A={2,4,5}라고 수정할 수 있습니다. 답은 A의 원소가 아닌 U의 원소를 모은 집합이므로 {2,4,5}입니다. 검산할 때는 두 가지를 대조합니다. A={1,3}과 여집합 {2,4,5}는 서로 겹치지 않아야 하고, 두 집합을 합쳤을 때 {1,2,3,4,5}로 정확히 U가 되어야 합니다. 이 조건을 만족하므로 주어진 전체집합 안에서 여집합을 구했다는 점을 확인할 수 있습니다.

조건을 남긴 채 표현과 구조를 바꾸어 다시 적용하기

같은 기준을 다른 집합 연산에 적용할 때는 풀이와 정답을 보이지 않게 하고, 문제와 필요한 조건만 남긴 상태에서 시작합니다. U={1,2,3,4,5}, A={1,2}, B={2,3}일 때 (A∪B)의 여집합을 구하는 경우입니다. 먼저 A∪B를 직접 만들면 {1,2,3}이고, 이를 U에서 제외하면 {4,5}입니다. 따라서 (A∪B)의 여집합은 {4,5}입니다.

이 결과는 A의 여집합과 B의 여집합의 교집합을 구한 결과와도 같습니다. 4와 5만 A와 B 모두에 속하지 않으며, 1과 3은 합집합에 포함되고 2는 두 집합에 공통으로 포함되므로 제외됩니다. 단순히 기호를 외우는 데서 그치지 않고, ‘전체집합 안에서 합집합에 들어가지 않은 원소를 고른다’는 기준을 말로 설명하고 계산으로 확인하는지가 중요합니다. 다음 점검에서는 문제의 식과 범위, 전체집합의 원소만 남겨 두고 학생이 여집합의 기준을 먼저 적은 뒤 수정 풀이를 다시 쓰는지 살핍니다.