동래구 수학과외

20cm 끈을 5개로 자를 수 없는 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “20÷4=5개다.” 끈 전체 길이를 조각 하나의 길이로 나눈 계산 자체는 자연스럽지만, 문제에는 적어도 3cm를 남긴다는 조건이 있습니다. 5개를 자르면 4×5=20cm를 모두 사용하므로 남는 길이는 0cm입니다. 따라서 조각의 길이만 맞춘 것이고, 남겨야 할 길이 조건까지 만족한 답은 아닙니다.

나눗셈 결과와 실제 가능한 개수 구분하기

교사는 먼저 “5개를 자른 뒤 남는 길이는 얼마인가요?”, “문제에서 남은 길이에 대해 무엇을 요구했나요?”라고 묻습니다. 학생이 바로 이유를 설명하지 못하면 4cm 조각을 하나, 두 개 자른 경우를 함께 적어 보며 자른 양과 남은 양을 구분합니다. 조각 수를 0 이상의 정수 n이라 하면, n개의 조각을 자른 양은 4n cm이고 남은 길이는 20-4n cm입니다. 남은 길이가 3cm 이상이어야 하므로 20-4n≥3, 즉 4n+3≤20이라는 부등식을 세워야 합니다. 이 식을 풀면 n≤4.25이지만, n은 조각의 개수이므로 4.25개를 선택할 수는 없습니다. 조건을 만족하는 가장 큰 정수는 4입니다.

학생이 식을 고쳐 다시 해결하는 과정

교사가 부등식의 한쪽을 대신 정리해 준 뒤, 학생은 “자른 양에 남겨야 할 최소 길이를 더한 값이 전체 길이보다 클 수 없다”고 말하며 4n+3≤20을 다시 씁니다. 이어서 4n≤17, n≤4.25를 계산하고, 개수는 정수여야 하므로 최대 4개라고 결론을 내립니다. 처음의 20÷4=5에서 바뀐 판단은 단순히 나눗셈을 버린 것이 아니라, 남겨야 할 길이를 식에 포함하고 개수의 정수 조건을 적용한 것입니다. 계산 결과가 맞더라도 문제의 조건을 빠뜨렸는지, 또는 조건은 이해했지만 식을 처음부터 잘못 세웠는지는 풀이 과정을 보며 나누어 확인합니다.

조건에 대입하고 새 문제에 적용하기

검산으로 n=4를 원래 조건에 대입하면 4×4=16cm를 자르고 20-16=4cm가 남습니다. 남은 길이 4cm는 최소 3cm 이상이므로 조건을 만족합니다. 반면 n=5이면 0cm가 남아 조건에 맞지 않습니다. 이후에는 문제와 조건만 보이게 하고 앞서 쓴 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 새로 길이 30cm인 끈에서 4cm 조각을 자르고 5cm 이상 남기는 문제에서는 30-4n≥5, 즉 n≤6.25이므로 최대 6조각입니다. 이전과 같은 부등식 구조를 사용할 수 있지만, 전체 길이와 남겨야 할 길이가 달라졌다는 점을 먼저 확인해야 합니다. 또 “개수는 언제나 소수 부분을 버린다”가 항상 맞는 것은 아닙니다. 7개씩 담을 수 있는 물건 22개를 모두 담으려면 3상자로는 21개만 담기므로 최소 4상자가 필요해 소수 부분을 버리는 대신 올림해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이를 가리지 않고 따라 쓰는 데 그치지 않고, 조건을 식으로 바꾸고 정수 범위를 설명한 뒤 새 조건에도 적용하는지를 확인합니다.