청주 수학과외

문자항을 없애도 x가 남는지 먼저 살펴보기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 2x+3<2x+1의 실수 해를 구하라. 학생은 “x<-2이다.”라고 적었습니다. 이 답은 부등식의 양변에 있는 2x를 비교하는 과정에서, 실제로 남는 식이 무엇인지 확인하지 않은 풀이입니다. 이 문제에서 구해야 하는 것은 x의 범위인데, 양변에 같은 문자항이 있으므로 먼저 그 문자항을 없애야 합니다. 어느 수가 음수인지에 따라 부등호 방향이 바뀌는 상황도 아니며, 아직 양변에 음수를 곱하거나 나눈 단계도 없습니다.

교사는 바로 답을 외우게 하기보다 “양변에서 2x를 빼면 왼쪽과 오른쪽에 각각 무엇이 남을까?”라고 묻습니다. 학생이 그 이유를 말하기 어려워하면 교사가 한쪽 식에서 2x를 먼저 지워 보이고, 같은 연산을 양변에 해야 한다는 점을 함께 확인합니다. 이렇게 하면 처음의 x<-2가 어떤 계산에서 나온 것인지, 문제의 조건과 맞는지 다시 살펴볼 수 있습니다.

오답의 원인을 나누어 확인하는 과정

“x<-2”라는 결과 하나만으로 학생이 음수의 대소를 몰랐다고 단정할 수는 없습니다. 교사는 먼저 학생에게 “이 식에서 x를 구하려면 어떤 항을 먼저 없애야 한다고 생각했는가?”를 묻고, 2x를 양변에서 빼는 과정을 직접 시켜 봅니다. 학생이 문자항을 없애는 방법은 알고도 x<-2라고 했다면, 처음 식을 옮기는 과정이나 부호를 계산하는 과정에서 판단이 달라졌는지 확인합니다. 반대로 양변에 같은 식을 더하거나 빼는 성질 자체가 불분명하다면, 같은 수를 양변에 더하거나 빼도 부등호 방향이 유지된다는 내용을 짧은 수로 먼저 확인한 뒤 대표 문제로 돌아옵니다.

이때 음수와 관련된 개념도 문제에 맞게 구분합니다. 양변에 음수를 곱하거나 나누는 경우에는 수직선에서 좌우 순서가 뒤집히므로 부등호 방향을 바꾸어야 합니다. 그러나 이 문제의 수정 과정은 양변에서 2x를 빼는 것이므로, 음수를 곱하거나 나누는 규칙을 적용하는 단계가 아닙니다. 서로 다른 연산의 조건을 섞지 않는 것이 핵심입니다.

2x를 없앤 뒤 남은 상수 부등식을 판단하기

학생이 문제를 다시 풀 때는 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 보게 합니다. 학생은 양변에서 2x를 빼고, 왼쪽은 3, 오른쪽은 1이 되어 3<1을 얻습니다. 이 식은 참이 아니므로 이를 만족하는 실수 x는 없습니다. 따라서 정답은 “해가 없다”입니다. 여기서 3과 1은 x의 값이 아니라, 문자항을 없앤 뒤 남은 상수이며, 최종적으로 판단해야 하는 것은 이 상수 부등식의 참과 거짓입니다.

교사는 학생이 “x를 계산할 수 없으니 틀린 문제”라고 생각하지 않도록, 모든 부등식에서 반드시 x의 범위가 나오는 것은 아니라고 설명합니다. 어떤 값의 범위를 구할 수 있는지는 정리한 뒤 남는 식에 달려 있습니다. 학생은 처음의 x<-2를 그대로 고치는 데 그치지 않고, “양변에서 같은 2x를 빼면 3<1이 되고, 이 부등식은 거짓이므로 해가 없다.”라고 문제의 조건과 연결해 다시 답합니다.

조건에 대입하고 새 부등식에 적용하기

검산할 때는 같은 풀이를 반복하기보다 좌변과 우변의 차이를 확인합니다. 우변에서 좌변을 빼면 (2x+1)-(2x+3)=-2로, x의 값과 관계없이 항상 음수입니다. 따라서 좌변이 우변보다 작은 경우를 뜻하는 2x+3<2x+1은 성립할 수 없다는 결론과 일치합니다. 학생이 풀이 순서만 따라 쓴 경우에는 수정 풀이를 가리고 다시 시작하게 하며, 혼자 막히면 개념 이해가 필요한지 계산 과정에서 어려움을 겪는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

이제 기본 문제와 다른 새 조건인 2x+1>2x+4를 적용합니다. 양변에서 2x를 빼면 1>4가 되는데, 이는 거짓입니다. 따라서 이 부등식도 만족하는 실수 x가 없습니다. 앞 문제와 숫자와 부등호의 방향은 달라졌지만, 같은 문자항을 양변에서 없앤 뒤 남은 상수 부등식의 참과 거짓을 판단한다는 핵심은 같습니다. 이후에는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 과정을 스스로 구성하고, 왜 해가 없는지 설명하는지를 확인합니다.

필요하다면 “10<11의 양변에 -1을 곱하면 어떻게 될까?”를 추가로 살펴볼 수 있습니다. 이때는 -10>-11이므로, 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀐다는 별도의 판단을 확인할 수 있습니다. 새 적용 문제를 해결하는 과정과 이 비교 문제를 혼동하지 않도록, 같은 수를 빼는 경우와 음수를 곱하는 경우의 조건을 나누어 설명하는 방향으로 다음 학습을 이어갑니다.