청주 고등수학과외

첫 자리도 자유로운 두 선택인가?

확률과 통계에서 0과 1로 길이 5의 문자열을 만드는 문제는 중복순열의 기본 조건을 확인하기에 알맞다. 각 자리에는 0 또는 1을 넣을 수 있고 반복도 허용된다. 그런데 “첫 기호가 1일 때 개수”를 묻는 순간 모든 자리가 같은 방식으로 선택되는 것은 아니다. 이 조건을 놓치면 전체 경우의 수를 그대로 답으로 쓰게 된다. 예를 들어 이렇게 답했다면 2⁵=32이다. 이 값은 첫 자리까지 0 또는 1로 자유롭게 정한 전체 문자열의 수에는 맞지만, 첫 기호가 1로 고정된 경우의 수와는 다르다.

배움노트 고등수학 수업에서는 오답을 보자마자 계산 실수라고 단정하지 않고 먼저 “첫 자리도 자유로운 두 선택인가?”라고 묻는다. 학생은 문제의 문장에서 첫 자리에 가능한 기호를 직접 표시하고, 반복 허용 여부도 따로 밑줄 친다. 이어 2⁵이 어떤 조건을 나타내는지 말로 설명하게 한다. 첫 자리까지 자유로운 전체 경우를 센 것인지, 첫 1을 이미 정한 뒤 나머지를 센 것인지 구분해야 하기 때문이다.

고정된 자리를 제외하고 다시 세기

자리의 구별, 반복 허용, 같은 대상을 구별하는지 여부를 분리해 보면 풀이의 구조가 분명해진다. 이 문제에서는 다섯 자리가 서로 다른 위치로 구별되고, 각 자리에 0과 1을 반복해서 넣을 수 있다. 다만 첫 자리는 1로 정해져 있으므로 선택할 수 있는 자리는 뒤의 네 자리뿐이다. 각 자리마다 두 선택이 남으므로 학생이 다음 줄을 직접 이어 쓰게 한다.

첫 자리: 1 고정
나머지 네 자리: 각 자리마다 0 또는 1
따라서 경우의 수: 2⁴=16

학생이 2⁴=16이라고 수정했다면, 교사는 식만 맞았다고 끝내지 않는다. 16이 실제로 첫 기호가 1인 문자열의 수인지 확인하도록 한다. 전체 문자열은 2⁵=32개이고, 첫 기호가 0인 묶음과 첫 기호가 1인 묶음으로 나뉜다. 뒤 네 자리를 정하는 방식이 두 묶음에서 동일하므로 두 묶음의 크기는 각각 16이다. 따라서 32개를 첫 기호별 두 동일한 묶음으로 나눈 결과와도 일치한다. 반면 2⁵=32는 첫 기호가 0인 경우까지 포함한 값이므로 주어진 조건과 맞지 않는다.

조건을 바꾸어 다시 적용하기

기본 문제를 다시 푼 뒤에는 답을 기억한 것인지 확인하기 위해 조건을 바꾼다. 이번에는 “0, 1로 길이 5의 문자열을 만든다. 1이 정확히 두 번 나올 때 개수를 구하라”로 시작한다. 여기서는 특정 자리가 고정된 것이 아니라 1이 들어갈 위치 두 곳을 정하는 문제다. 다섯 자리 중 두 자리를 고르면 되므로 5C2=10이다. 위치를 순서 있게 골라 세면 같은 위치쌍이 두 번씩 나타나 20/2=10이 된다는 점으로도 확인할 수 있다.

앞 문제의 첫 기호 고정과 이번 문제의 1의 전체 개수 고정은 표현이 비슷해도 조건이 다르다. 재적용할 때는 문제와 조건만 남기고 풀이식과 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 고정된 위치가 있는지, 특정 기호의 개수가 정해졌는지 표시한 뒤 풀이를 쓴다. 마지막으로 작은 길이의 문자열을 직접 나열해 어떤 결과가 같은지 대조하면, 공식부터 고르는 습관과 조건을 읽고 세는 습관의 차이도 확인할 수 있다.