흥덕구 수학과외

대표 문제에서 드러난 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. f(x)=2x+3의 역함수를 구하라. 학생은 f⁻¹(x)=1/(2x+3)이라고 적었습니다. 이 식은 주어진 함수값의 역수에 해당하는 표현이지, 입력과 출력의 관계를 거꾸로 바꾼 역함수는 아닙니다. 따라서 먼저 문제에서 구하라는 값이 함수식의 역수인지, 입력과 출력의 역할을 바꾼 함수인지 구분해야 합니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “2x+3에서 x는 입력이고, f(x)는 출력인데 두 값을 바꾸면 어떤 식이 되나요?”라고 묻습니다. 학생이 설명하기 어렵다면 교사가 y=2x+3이라고 한 줄을 써서 입력과 출력의 위치를 함께 살핀 뒤, 식을 변형하는 다음 단계는 학생이 이어서 시도하게 합니다.

오답의 판단을 구분하는 확인

이 과정에서는 학생이 분수식의 값을 계산하는 방법을 모르는지, 역함수의 뜻과 역수를 혼동했는지를 나누어 봅니다. 예를 들어 학생에게 2x+3의 값을 구하는 간단한 계산을 먼저 해 보게 한 뒤, “이번에는 함수값을 다시 입력으로 돌려놓으려면 어떤 식을 풀어야 할까요?”라고 질문합니다. 계산은 할 수 있지만 1/(2x+3)을 적었다면, 계산 능력보다 역함수와 역수의 역할을 바꿔 이해한 부분을 우선 확인해야 합니다.

반대로 y=2x+3에서 x를 구하는 과정에서 부호나 나눗셈을 틀렸다면, 처음 판단을 바꾼 뒤 식을 변형하는 과정에서 막힌 것인지 살펴봅니다. 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 같은 문제의 조건을 다시 읽고 어떤 값을 구해야 하는지 말하거나 적어 보게 하면서 필요한 도움의 정도를 조절합니다.

입출력을 바꾸어 수정 풀이하기

교사는 역함수가 원래 함수의 입력과 출력을 서로 되돌리는 함수라는 점을 설명합니다. y=2x+3에서 먼저 x에 대해 풀면, 2x=y−3이므로 x=(y−3)/2입니다. 이 식은 원래 출력 y를 입력으로 받았을 때 원래 입력 x를 돌려주는 관계입니다. 이제 이름을 다시 함수 표기처럼 정리하면 f⁻¹(x)=(x−3)/2입니다.

교사는 학생이 두 표현을 나란히 비교하도록 합니다. 1/(2x+3)은 2x+3이라는 함수값을 분수의 분모로 놓은 역수이고, (x−3)/2는 y=2x+3에서 원래 입력을 구한 식입니다. 학생은 처음 답에서 “2x+3 전체를 뒤집어야 한다”고 판단했던 부분을 바꾸어, “출력 y를 입력으로 보고 y=2x+3을 x에 대해 풀어야 한다”고 문제 조건과 연결해 설명합니다. 그 뒤 수정한 식을 직접 적고 역함수의 답을 완성합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

수정 풀이를 그대로 반복하지 않고 원래 함수에 대입해 확인합니다. 수정한 함수에 원래 함수의 결과를 넣으면 f((x−3)/2)=2((x−3)/2)+3=x−3+3=x입니다. 입력을 역함수에 먼저 넣은 뒤 원래 함수에 넣어도 같은 방식으로 원래 입력이 돌아오는지 확인할 수 있습니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가리고 대표 문제만 다시 보여 준 뒤, 입출력을 바꾸는 단계부터 다시 시작하게 합니다.

새 문제로 f(x)=3x−2의 역함수와 1/f(x)를 각각 쓰라고 제시합니다. 이번에는 계수와 상수가 바뀌었지만 구분해야 할 대상은 같습니다. y=3x−2에서 x=(y+2)/3이므로 역함수는 f⁻¹(x)=(x+2)/3이고, 함수식의 역수는 1/(3x−2)입니다. 역수는 분모가 0이면 정의되지 않으므로 x=2/3에서는 정의되지 않습니다. 학생이 새 조건에서도 두 식을 따로 쓰고 각각의 뜻을 설명하는지 확인합니다.

필요하다면 f(x)=3x−1에서 h(x)=1/(3x−1)이 역함수인지 x=1로 확인하는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. f(1)=2이고 h(2)=1/5이므로 h는 역함수가 아닙니다. 실제 역함수는 y=3x−1에서 x=(y+1)/3을 얻어 (x+1)/3입니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 문제를 다시 해결하고, 왜 역함수와 역수를 다르게 썼는지 근거를 설명하며, 바뀐 계수에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.