대전 중등수학과외

두 직각변이 주어진 새 문제에서 시작한 질문

학생은 먼저 두 직각삼각형의 두 직각변 길이가 각각 5cm와 12cm로 같다는 조건을 읽고 멈췄다. 교사는 “이번에는 어떤 합동 조건을 골라야 할까?”라고 물었다. 학생은 두 변이 같다는 사실만 표시하지 않고, 그 두 변 사이의 각이 두 삼각형 모두 90°라는 점까지 말해야 했다. 대전중등수학과외 수업에서는 이렇게 주어진 변과 그 사이 각을 함께 읽고 조건을 선택하는 행동을 확인한다.

학생은 5cm와 12cm가 두 직각변이고 끼인각이 직각이라는 것을 적은 뒤, “두 변과 그 사이 직각이 각각 같으므로 SAS 합동이다.”라고 답했다. 이 문제에서는 빗변과 한 직각변을 제시하는 것이 아니라 두 직각변을 제시했다는 점이 핵심이다. 따라서 길이만 나열하지 않고, 어떤 각이 두 변 사이에 있는지 설명해야 합동 조건이 완성된다.

대표 문항에서 처음 달라진 판단

교사는 삼각형 ABC와 DEF에서 ∠A와 ∠D가 직각이고, BC=EF=13cm, AB=DE=5cm인 문항을 보여 주었다. 학생은 처음에 “모든 삼각형은 두 변만 같으면 합동이다.”라고 썼다. AB와 DE가 5cm로 같고 BC와 EF가 13cm로 같다는 계산 자체는 바르게 읽었지만, 두 변이 같다는 일반 규칙을 모든 삼각형에 적용한 것이 처음 달라진 판단이었다.

교사는 곧바로 정답을 완성하지 않고 “직각 조건이 없을 때 남은 각이 달라질 수 있을까?”라고 물었다. 학생은 직각 조건이 없다면 두 변만으로는 끼인각이나 다른 각의 관계가 정해지지 않을 수 있다고 대답했다. 다만 이 한 번의 오답만으로 학생이 합동 조건을 전혀 모른다고 단정하지 않고, 질문에 대한 말과 실제 계산 줄을 함께 확인했다. 말로는 직각의 역할을 설명하면서도 답안에는 두 변만 적었는지 구분한 것이다.

직각과 빗변을 포함해 수정하기

교사는 필요한 만큼만 설명했다. “이번에는 직각삼각형이며 같은 변 하나가 빗변이라는 추가 조건이 있다.” 학생은 직각 A와 D를 확인하고, 그 맞은편에 있는 BC와 EF가 빗변이라는 표시를 했다. 이어 AB와 DE가 각각 5cm인 대응 변임을 찾아 조건을 다시 정리했다. 교사는 나머지 문장을 대신 써 주지 않고, 학생에게 “직각과 빗변을 포함해서 조건을 빠짐없이 말해 보자.”라고 요청했다.

학생이 직접 고쳐 쓴 풀이에는 다음 내용이 남았다. “빗변과 다른 한 변이 각각 같으므로 직각삼각형의 합동 조건을 만족한다. A↔D, B↔E, C↔F.” 처음 풀이의 “두 변만 같으면”이라는 표현과 달리, 수정 풀이에는 직각삼각형이라는 범위와 같은 변 중 하나가 빗변이라는 판단이 들어갔다. 대응 꼭짓점도 AB↔DE, BC↔EF에 맞추어 A↔D, B↔E, C↔F로 정리했다.

대입이 아닌 대응 관계로 검산하기

검산은 같은 합동 문장을 반복해서 읽는 방식으로 끝내지 않았다. ∠A와 ∠D의 맞은편 변이 각각 BC와 EF이므로 13cm인 두 변은 빗변으로 대응한다. 또 5cm인 AB와 DE가 대응한다. 길이 관계를 위치 관계와 함께 대조하면 학생이 13cm 변을 빗변으로 잘못 표시하지 않았는지 확인할 수 있다. 참고로 직각삼각형의 다른 변은 √(13²−5²)=√144=12cm로 서로 일치하므로, A↔D, B↔E, C↔F라는 대응도 조건과 맞는다.

가려 둔 답안에 대표 문제의 조건만 다시 제시하자 학생은 이전 문장을 보지 않고 ∠A=∠D=90°, BC=EF는 빗변, AB=DE=5cm라고 표시했다. 교사는 정답을 맞혔다는 사실만으로 판단하지 않고, 직각과 빗변을 포함한 조건을 그 이유와 함께 말하는지 확인했다. 필요한 경우에는 “직각삼각형이며 같은 변 하나가 빗변이라는 추가 조건이 있다.”까지만 다시 보여 주고, 대응 표시와 결론은 학생이 직접 쓰게 한다.

다음 문제에서는 두 직각삼각형의 두 직각변이 각각 5cm와 12cm로 같을 때, 학생이 두 변 사이의 90°를 표시하고 “두 변과 그 사이 직각이 각각 같으므로 SAS 합동”이라고 도움 없이 적게 한다. 빗변과 한 직각변을 사용한 대표 문항과 달리 두 직각변과 끼인각을 선택하는지, 그리고 직각이 두 변 사이에 있다는 이유까지 말하는지를 근거로 확인한다.