대전 고등수학과외

세 변으로 각을 판단하는 문제에서는 조건 하나가 달라졌을 때 결론도 달라질 수 있다. 예를 들어 변 BC=3, CA=4, AB=6인 삼각형 ABC에서 각 C의 종류를 묻는다면, 먼저 세 길이가 실제로 삼각형을 이루는지 확인해야 한다. 가장 긴 변은 c=6이므로 a²+b²과 c²를 비교할 수 있지만, 세 변이 언제나 삼각형을 만든다고 가정해서는 안 된다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 계산 결과만 고치는 데 그치지 않고, 어떤 조건을 먼저 확인했는지 말하게 한다.

3, 4, 6을 직각삼각형으로 판단한 이유 다시 묻기

이렇게 답했다면 학생은 3²+4²=25를 계산한 뒤 “피타고라스 삼각형이므로 직각”이라고 결론 낸 셈이다. 그러나 피타고라스 정리를 적용하려면 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱합과 같아야 한다. 여기서 c²=6²=36이고 a²+b²=3²+4²=25이므로 두 값은 같지 않다. 짧은 확인 질문은 “c²=36은 a²+b²=25와 같은가?”이다. 학생이 두 값을 직접 써서 비교하게 하면 계산 실수인지, 세 변이면 항상 삼각형이라고 생각한 것인지, 또는 제곱합 조건과 각의 판단을 혼동한 것인지 구분할 수 있다.

삼각형 존재와 코사인 부호를 순서대로 확인하기

먼저 3+4>6이므로 삼각형은 존재한다. 그다음 각 C는 변 c=AB의 맞은편 각이므로 코사인법칙을 사용하면 cos C=(a²+b²−c²)/(2ab)=(9+16−36)/(2·3·4)=−11/24이다. 값이 0보다 작으므로 0°<C<180°인 삼각형에서 C는 둔각이다. 학생이 직접 “cos C=−11/24<0이므로 각 C는 둔각”이라고 문장으로 쓰게 한다. 같은 결론은 c²>a²+b², 즉 36>25라는 일반적인 둔각 판정으로도 확인할 수 있다. 한 수치 대입만으로 모든 경우를 설명하는 것이 아니라, 코사인법칙과 제곱 비교가 왜 같은 판정을 주는지 대조한다.

조건을 바꾼 문제에서 먼저 허용 범위 표시하기

이제 길이 2, 3, 6인 세 선분으로 삼각형을 만들 수 있는지 판단한다. 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 두고, 학생이 가장 긴 변과 나머지 두 변의 합을 직접 표시하게 한다. 2+3=5<6이므로 삼각형은 존재하지 않는다. 따라서 실제 각 C를 정해 코사인법칙으로 판정할 수 없다. 형식적으로 (2²+3²−6²)/(2·2·3)=−23/12이라는 값이 나오지만, 이는 −1보다 작아 삼각형의 각의 코사인 값이 될 수 없다는 점에서 앞의 결론과 맞을 뿐, 존재하지 않는 삼각형의 각을 계산한 것은 아니다. 기본 문제에서는 3+4>6을 확인한 뒤 cos C=−11/24로 둔각을 얻었고, 새 문제에서는 2+3<6을 먼저 표시해 ‘삼각형을 만들 수 없음’이라고 써야 한다. 마지막 줄을 비워 두고 바른 결론과 이유를 채우게 한 뒤, 도형을 다시 그릴 때 길이와 각을 표시하고 겉모양만 보고 직각이라고 가정하지 않는지 다음 풀이에서 확인한다.