반여동 중등수학과외

반여동중등수학과외 수업에서 교사는 삼각형 ABC의 조건과 학생이 적은 답안을 나란히 놓았다. AB=6cm, AC=8cm, ∠A=30°인 삼각형의 넓이를 구하는 문제였고, 학생은 “높이=8cos30°=4√3cm”라고 썼다. 교사는 바로 정답을 말하지 않고 “이 높이는 어느 선분에 수직인가?”라고 물었다. 학생이 적은 식만 보면 삼각비 계산을 시도한 것은 확인되지만, 8cm인 AC를 높이로 정한 판단이 문제의 조건과 맞는지는 따로 확인해야 했다.

예각 30°에서 높이의 위치 확인하기

교사는 AB를 밑변으로 표시하고 C에서 AB 또는 그 연장선에 수선을 내려 보였다. 그런 다음 “30°의 맞은편이 높이인가, 바닥 방향인가?”라고 짧게 물었다. 학생이 각의 맞은편과 인접한 변을 말로 구분하는지 먼저 지켜본 뒤, 기준을 고르지 못하면 개념을 다시 확인하고, 기준은 맞게 말하지만 답만 다르면 계산 과정을 한 줄씩 살피기로 했다. 이 질문은 학생이 코사인이라는 이름을 기억하는지보다, 실제 도형에서 어떤 변이 수직 높이가 되는지 설명하는지를 확인하기 위한 것이었다.

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 시범으로 보였다. AB를 밑변으로 잡았을 때 수직 높이는 30°의 맞은편에 놓인다. 따라서 AC=8cm를 빗변으로 보는 직각삼각형에서 높이는 8sin30°=8×1/2=4cm이다. 코사인은 기준각에 붙어 있는 변의 길이를 구할 때 연결되지만, 이 문제에서 넓이에 필요한 것은 밑변에 수직인 길이이므로 사인으로 표현한다. 이어지는 선택은 학생이 직접 하도록 식의 다음 줄을 가리지 않고 비만 표시했다.

학생이 직접 고쳐 쓴 넓이 식

학생은 처음 쓴 “높이=8cos30°”를 지우고, 기준각에서 높이의 위치를 다시 표시했다. 이어서 “AB를 밑변으로 잡으면 높이는 8sin30°=4cm”라고 적었다. 그 뒤 넓이 공식에 값을 넣어 넓이=(1/2)×6×4=12cm²라고 완성했다. 처음 풀이와 달라진 부분은 8cm 변 자체를 높이로 취급하지 않고, 그 변에서 밑변 방향으로 내려간 수직 성분을 높이로 사용한 점이다. 학생에게는 왜 사인을 선택했는지 “높이는 30°의 맞은편이기 때문”이라고 말로 덧붙이게 했다.

계산을 반복하지 않는 확인과 둔각 조건

검산에서는 같은 곱셈을 다시 반복하지 않았다. 밑변이 6cm이고 그에 수직인 높이가 4cm인 삼각형인지 도형의 표시를 대조했다. 기울어진 AC=8cm는 밑변 AB에 수직인 선분이 아니므로 높이로 사용할 수 없고, 수선의 길이 4cm를 사용해야 넓이 공식의 조건에 맞는다. 따라서 12cm²라는 결과는 식의 계산뿐 아니라 밑변과 수직 높이의 관계로도 확인된다.

이제 끼인각을 예각 30°에서 둔각 150°로 바꾼 문제를 제시한다. 두 변의 길이가 6cm와 8cm이고 끼인각이 150°인 삼각형에서, 6cm 변을 포함한 직선에 8cm 변의 끝점에서 수선을 내린다. 수선의 발이 밑변의 연장선 쪽에 놓이므로 직각삼각형 안에는 30°가 나타나지만, 수직 높이는 여전히 30°의 맞은편이다. 따라서 높이는 8sin30°=4cm이고, 넓이는 6×4÷2=12cm²이다. 연장선에 수선의 발이 있어도 높이는 4cm로 측정하며 넓이 공식은 그대로 적용한다.

다음 수업에서는 문제와 조건은 유지하되 오답과 수정 풀이를 가린 대표 문제를 다시 제시하고, 이어서 끼인각이 150°인 적용 문제를 도움 없이 풀게 한다. 학생이 먼저 기준각을 표시하고, 수선의 발이 밑변 또는 그 연장선 중 어디에 놓이는지 확인한 뒤, 높이에 사용할 삼각비를 스스로 선택하는지 본다. 교사는 학생이 “수직 높이는 30°의 맞은편이므로 sin을 쓴다”는 근거를 식 옆에 남겼는지와 8cm인 기울어진 변을 높이로 다시 쓰지 않았는지를 확인한다.