반여동 고등수학과외

“7−8+4=3, 또는 7−2²=3.” 이 식은 E(X)=2, E(X²)=7인 확률변수 X의 분산을 구할 때 도달해야 하는 수정 풀이이다. 처음에 V(X)=7−2=5라고 답했다면, 계산 실수 하나로 결론을 단정하기보다 분산식에서 어떤 판단이 빠졌는지부터 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 학생이 답을 바로 고쳐 쓰기보다, 자신이 사용한 식과 정의를 나란히 놓고 대조하게 한다.

평균과 평균의 제곱을 구분하는 질문

먼저 “분산식에서 빼는 것은 평균인가, 평균의 제곱인가?”라고 묻는다. 분산은 평균에서 떨어진 정도를 제곱해 확률을 곱한 뒤 더한 값이므로, 단순히 E(X²)에서 E(X)를 빼는 식이 아니다. 확률분포에서는 각 확률이 0 이상이고 전체 합이 1이어야 하며, 평균 E(X)=2도 확률을 반영한 가중합이다. 따라서 분산과 표준편차를 같은 값처럼 읽고 있는지도 함께 확인한다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 단위와 크기가 다르다.

정의에서 출발해 식을 직접 전개하기

학생이 먼저 평균에서의 차를 제곱한 정의를 적도록 한다. 평균이 2이므로 V(X)=E((X−2)²)이다. 괄호를 전개하면 (X−2)²=X²−4X+4이고, 기대값의 선형성을 적용하면 V(X)=E(X²)−4E(X)+4가 된다. 주어진 값을 넣으면 7−4×2+4=7−8+4=3이다. 이를 단축식 V(X)=E(X²)−{E(X)}²로 다시 쓰면 7−2²=3이 되어 같은 결과를 얻는다. 두 식이 일치하는지 학생이 직접 표시하게 하면, 빠진 것은 평균 자체가 아니라 평균의 제곱이라는 점을 확인할 수 있다.

조건을 남긴 채 다른 형태로 다시 확인하기

기본 문제를 다시 풀 때는 문제와 조건만 남기고 풀이 과정, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 먼저 E(X)=2, E(X²)=7을 적고 분산식을 선택한 뒤, 정의의 전개와 단축식이 모두 3을 주는지 검산한다. 답을 기억해서 적은 것인지 구별하려면 조건을 바꾼 문제도 풀어야 한다. 예를 들어 X의 표준편차가 3이고 Y=−2X+1일 때 Y의 표준편차를 구한다. 상수 1은 평균의 위치만 옮기고, −2는 편차의 부호를 바꾸면서 크기를 두 배로 하므로 표준편차는 |−2|×3=6이다. 분산으로 확인하면 V(Y)=(−2)²V(X)=4×9=36, 따라서 표준편차는 √36=6이다. 마지막에는 예시 오답에서 바뀐 결론을 V(X)=7−2²처럼 식으로 표시하게 하고, 분산과 표준편차가 섞일 때는 평균의 이동과 평균으로부터의 거리 배율을 분리해 적도록 점검한다.