삼덕동 중등수학과외

수업은 자료 2, 3, 3, 4, 18에서 가장 큰 18을 제거한 상황으로 시작한다. 학생은 남은 자료 2, 3, 3, 4의 평균·중앙값·최빈값을 구하라는 문제를 보고 평균 3, 중앙값 3, 최빈값 3이라고 적었다. 답만 보면 모두 3이라 맞아 보이지만, 교사는 각 값에 도달한 절차가 대푯값의 이름과 맞는지 확인하기로 했다. 삼덕동중등수학과외 수업에서는 정답 숫자만 확인하지 않고, 자료 수와 가운데 위치를 학생이 직접 표시한 뒤 계산 줄을 남기게 한다.

자료를 제거했을 때 달라지는 평균의 분모

교사는 학생에게 먼저 “남은 자료의 합은 얼마인가요?”라고 묻고, 이어 “평균을 구할 때 자료는 몇 개인가요?”라고 질문한다. 학생은 2+3+3+4=12라고 계산한 뒤 자료 수가 4개라고 답한다. 교사는 식을 대신 완성하지 않고, 학생이 12÷4=3을 직접 쓰도록 잠시 기다린다. 자료가 5개였을 때와 달리 큰 값 18을 제거하면서 합뿐 아니라 평균의 분모도 5에서 4로 바뀐다는 점을 말로 설명하게 한다.

중앙값은 자료를 작은 수부터 배열한 뒤 가운데 위치를 정하는 값이다. 남은 자료는 이미 2, 3, 3, 4로 정렬되어 있고, 자료 수가 짝수이므로 가운데 두 수 3과 3의 평균을 구한다. 학생은 (3+3)÷2=3을 적고, 두 번 나온 값이 3이므로 최빈값도 3이라고 설명한다. 이때 교사는 세 대푯값이 우연히 같은 수가 되었더라도 절차까지 같은 것은 아니라고 짚는다.

처음 풀이에서 평균과 중앙값이 바뀐 순간

이제 자료를 제거하기 전의 대표 문제로 돌아간다. 자료 2, 3, 3, 4, 18의 평균·중앙값·최빈값을 구하고, 18만 100으로 바꾸었을 때 중앙값이 변하는지 판단하는 문항이다. 학생의 처음 작성은 “평균은 가운데 3이다.”였다. 학생이 가운데 값을 찾을 수 있다는 점은 확인되지만, 평균에 필요한 합과 자료 수를 사용하지 않았다는 점에서 판단이 달라졌다.

교사는 “평균에 필요한 합과 자료 수를 말해 볼까요?”라고 짧게 묻는다. 학생이 계산 줄 없이 “가운데 수”라고 답한다면, 말로 대푯값 이름을 구분하는 것과 실제 풀이 절차를 적용하는 것이 다를 수 있다. 따라서 이 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 질문에 대한 답과 학생이 적는 계산 줄을 함께 본다. 설명은 한 단계로 제한한다. 교사는 평균은 30÷5이고, 가운데 값은 중앙값이라고 보여 준 뒤 나머지 풀이를 학생에게 맡긴다.

대푯값 이름에 맞춰 다시 쓴 풀이

학생은 먼저 2+3+3+4+18=30을 계산하고, 평균을 30÷5=6으로 고쳐 쓴다. 이어 정렬된 자료의 가운데 값이 3이므로 중앙값은 3, 두 번 나온 3이 최빈값이라고 적는다. 18을 100으로 바꾼 자료는 2, 3, 3, 4, 100이다. 합은 112이므로 평균은 112÷5=22.4가 되지만, 세 번째 값은 여전히 3이어서 중앙값은 변하지 않는다.

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않는 방식으로 진행한다. 원자료에서 구한 평균 6에 자료 수 5를 곱하면 6×5=30이 되어 원래 합과 일치한다. 변경 후에는 평균이 22.4로 크게 달라졌지만, 정렬된 다섯 자료의 세 번째 값이 계속 3인지 확인한다. 이 대조를 통해 큰 값 하나가 평균에는 영향을 주어도 중앙값의 위치에는 영향을 주지 않는다는 판단 근거를 남긴다.

제거와 교체를 구분하는 마지막 적용

마지막에는 학생이 처음 본 제거 조건으로 돌아가 대표 문제의 조건과 비교한다. 18을 100으로 바꾸는 경우에는 자료 수가 5개로 유지되지만, 18을 아예 제거하는 경우에는 자료가 4개로 줄어든다. 학생은 도움 없이 먼저 대푯값 이름을 읽고, 평균에는 합과 자료 수를 사용하며, 중앙값에는 가운데 두 수의 평균을 사용하고, 최빈값에는 출현 횟수를 확인해야 한다. 다음 수업에서는 기존 오답과 수정 풀이를 가린 채 이 문제를 다시 제시하고, “왜 이 계산을 선택했는가?”까지 말하는지 확인한다. 필요할 때는 “평균은 30÷5이고 가운데 값은 중앙값”이라는 짧은 설명만 다시 보여 준 뒤, 자료 2, 3, 3, 4의 합과 분모를 학생이 직접 쓰는지, 짝수 자료의 가운데 두 수를 표시하는지, 각각의 근거를 남기는지를 관찰한다.