삼덕동 고등수학과외

수열의 극한에서는 식의 모양이 비슷해 보여도 최고차항의 차수가 달라지면 결론이 달라진다. 기본 문제의 조건과 다음 문제의 조건을 나란히 놓고 비교하면 이 차이가 분명해진다. 기본 문제는 $a_n=\frac{2n+1}{n+3}$, $n\ge1$의 극한을 구하는 것이고, 비교할 문제는 $a_n=\frac{2n+1}{n^2+3}$, $n\ge1$의 극한을 구하는 것이다. 두 식 모두 분자와 분모가 커지지만, 첫 번째는 분자와 분모의 최고차항 차수가 같고 두 번째는 분모의 차수가 더 높다. 배움노트 고등수학 수업에서는 바로 이 조건의 차이를 먼저 표시하게 한 뒤 계산을 시작한다.

“분자와 분모가 커지니 극한이 없다”는 판단 점검

이렇게 답했다면 “분자와 분모를 각각 $n$으로 나누면 작은 항은 무엇인가?”라고 확인한다. 분자와 분모가 커진다는 사실만으로 극한이 없다고 결론 내릴 수는 없다. 항 번호 $n$이 양의 정수로 커지는 상황에서 일반항의 변화를 살펴야 하며, 항이 일정 범위에 있다는 사실과 수렴 여부도 구별해야 한다. 경우에 따라 홀수 번호와 짝수 번호의 항이 서로 다른 값으로 움직이는 진동이 있을 수 있으므로, 몇 항의 소수값만 보고 판단하지 않는다. 학생이 분자·분모에 $n$을 직접 표시하고, 최고차항의 차수와 계수를 대조하도록 한다.

최고차항을 기준으로 기본 문제 다시 풀기

$\frac{2n+1}{n+3}$에서는 분자와 분모를 $n$으로 나누어 $\frac{2+\frac1n}{1+\frac3n}$으로 쓴다. $n\to\infty$이면 $\frac1n,\frac3n$은 0으로 가므로 극한은 $2$이다. 중간 결과를 함께 확인한 뒤 최종 판단은 학생이 “최고차항의 차수가 같으므로 최고차항 계수의 비인 $2/1$로 수렴한다”고 문장으로 적는다. 검산할 때는 $a_n-2=\frac{2n+1}{n+3}-2=-\frac5{n+3}$을 계산한다. $n\ge1$에서 분모가 양수이고 $-\frac5{n+3}\to0$이므로 $a_n\to2$라는 근거가 성립한다.

분모의 차수가 높아진 식에 독립적으로 재적용하기

이번에는 문제의 식 $a_n=\frac{2n+1}{n^2+3}$, 범위 $n\ge1$, 그리고 필요한 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 “분자·분모를 $n$으로 나누면 작은 항은 무엇인가?”에 답한 뒤, 분모의 최고차항이 $n^2$임을 찾아 $n^2$으로 나눈다. 그러면 $\frac{\frac2n+\frac1{n^2}}{1+\frac3{n^2}}$이고, 각 분수항이 0으로 가므로 극한은 $0$이다. 이는 단순한 표현 변경이 아니라 분모의 최고차항 차수가 실제로 달라진 경우다. 또 $n\ge1$에서 $0<a_n\le\frac3n$이고 $\frac3n\to0$이므로 비교를 통해서도 정답 $0$을 확인할 수 있다. 다시 대표 식으로 돌아갔을 때 학생이 조건을 표시하고, 필요한 경우 홀수·짝수 항의 거동까지 대조한 뒤 수정 풀이를 스스로 완성하는지를 다음 점검에서 확인한다.