봉산동 중등수학과외

남은 부분 DB를 먼저 묻는 새 조건

수업은 다음 문제의 풀이를 가린 상태에서 시작한다. “삼각형 ABC에서 D는 AB 위, E는 AC 위이고 DE∥BC이다. DE=6cm, BC=10cm, AB=15cm일 때 DB를 구하라.” 학생은 바로 전체 변에서 어떤 값을 빼야 하는지 표시하지 않고, DE와 BC의 관계부터 살펴본다. 교사는 답을 알려 주지 않고 “이 두 삼각형은 일정한 차이로 줄어든 걸까, 일정한 비로 줄어든 걸까?”라고 묻는다.

봉산동중등수학과외 수업에서는 학생이 문제에 적힌 평행선과 대응하는 변을 직접 연결해 말하도록 한다. 이 문제에서는 △ADE와 △ABC가 닮음이므로, DE와 BC의 길이 관계는 차가 아니라 비로 나타난다. 다만 지금 문제는 닮음으로 곧바로 구할 수 있는 AD가 아니라, 전체 AB에서 AD를 뺀 남은 부분 DB를 묻는다는 점이 다르다.

대표 문제에서 처음 어긋난 판단 찾기

이제 비교할 대표 문제를 제시한다. 삼각형 ABC에서 D는 AB 위, E는 AC 위이고 DE∥BC이다. AD=3cm, DB=2cm, BC=10cm일 때 DE를 구하는 문제다. 학생은 먼저 AB를 AD+DB=3+2=5cm로 계산했다. 이 부분은 조건을 전체 길이로 합친 것이므로 맞게 처리했다.

하지만 다음 줄에서 학생은 “AB−AD=2이므로 DE=BC−2=8cm”라고 적었다. 교사는 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않는다. “두 삼각형의 확대는 같은 만큼 줄어든 것인가, 몇 배의 비로 줄어든 것인가?”라고 다시 묻고, 학생에게 왜 2cm를 빼서 DE를 정했는지 설명하게 한다. 학생의 말과 첫 계산을 나란히 놓으면, 평행선으로 생긴 닮음보다 변의 길이 차를 먼저 대응시킨 지점에서 판단이 달라졌음을 확인할 수 있다.

비례식 한 단계만 연결하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, “비례식 DE/10=3/5로 연결해 보자”라고 안내한다. AD와 AB가 대응하고, DE와 BC가 대응하므로 AD/AB=DE/BC라는 관계를 표시한다. 또한 3/5는 3cm와 5cm의 길이 차가 아니라, 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응변이 몇 배 관계인지 나타내는 값이라고 짚는다.

학생은 도움을 받은 뒤 직접 식을 다시 쓴다. 먼저 AB=3+2=5cm를 적고, △ADE∽△ABC이므로 AD/AB=DE/BC=3/5라고 정리한다. 따라서 DE/10=3/5이고, 양변에 10을 곱해 DE=6cm을 얻는다. 처음에는 BC에서 2를 뺐지만, 수정 풀이에서는 AD와 AB의 대응비를 사용했다는 차이가 식에 드러난다.

다른 방식의 검산과 다음 확인

계산을 그대로 반복하지 않고 조건으로 결과를 확인한다. 3/5=6/10이므로 수정한 DE는 AD와 AB의 비에 맞는다. 또 DE는 큰 삼각형의 밑변 BC에 대응하는 내부의 작은 삼각형 변이므로, DE=6cm는 BC=10cm보다 짧다. 반면 처음 답인 8cm는 단순히 남은 AB의 길이 2cm를 BC에서 뺀 결과일 뿐, 대응변의 닮음비를 설명하지 못한다.

처음 제시한 새 문제로 돌아오면 조건은 DE=6cm, BC=10cm, AB=15cm이고 구하는 값은 DB이다. 학생은 먼저 AD/AB=DE/BC=6/10=3/5를 세워 AD=15×3/5=9cm를 구한다. 그다음 전체 길이에서 해당 부분을 빼 DB=15−9=6cm이라고 적는다. 확인식은 AD:AB=9:15=6:10이며, 3/5=6/10이고 내부의 DE가 BC보다 짧다는 조건도 함께 만족한다.

다음 수업에서는 원래 문제의 조건은 바꾸지 않고 풀이 부분만 가린다. 학생이 도움 없이 같은 차가 아니라 대응변의 비를 먼저 세우고, 대표 문제에서는 AB를 구한 뒤 DE를 계산하는지 확인한다. 새 조건 문제에서는 AD를 구한 뒤 DB를 전체에서 빼는 순서를 스스로 남기게 하며, 완성한 뒤 3/5=6/10과 닮음에 따른 길이 관계를 말로 설명하는지를 기록한다.