서동 중등수학과외

“두 미지수의 해가 3이라는 답, 조건에 맞을까?”

학생은 연립방정식 2x+3y=12, 3x−2y=5를 풀고 “13x=39, x=3이므로 두 미지수의 해는 3”이라고 적었다. 서동중등수학과외 수업에서는 이 답안을 바로 고치기보다 문제의 조건과 나란히 놓고 확인 질문부터 던진다. “y를 어느 식에서 구할 수 있을까?” 학생은 첫 계산에서 x=3을 얻은 과정은 설명했지만, y를 구한 식은 적지 않았다는 사실을 확인한다. 두 미지수의 값을 묻는 문제인데 한 문자만 남아 있다는 점이 처음 달라진 판단이다.

교사는 이 한 번의 오답만 보고 원인을 단정하지 않는다. 학생에게 x=3을 첫 번째 식에 넣어 보도록 하고, 필요한 부분만 “x=3을 첫 식에 넣으면 6+3y=12야.”라고 말한다. 여기서 이어지는 식을 교사가 완성하지 않는다. 학생이 직접 3y=6, y=2를 써야 하며, 질문에 대한 설명과 처음 답안의 첫 계산을 나란히 비교하면서 어느 단계가 빠졌는지 말하게 한다. 만약 학생이 x를 구한 뒤 풀이를 끝내려 했다면, 문제에서 요구한 것이 x 하나가 아니라 순서쌍이라는 점을 다시 표시한다.

계수를 맞춘 가감법으로 x를 구하고 y를 복원하기

학생은 수정 풀이를 처음부터 다시 적는다. 첫 번째 식 2x+3y=12에 2를 곱하면 4x+6y=24이고, 두 번째 식 3x−2y=5에 3을 곱하면 9x−6y=15이다. 이제 y의 계수가 6과 −6으로 맞춰졌으므로 두 식을 더한다.

(4x+6y)+(9x−6y)=24+15이므로 13x=39, 따라서 x=3이다. 여기서 학생은 교사의 다음 식을 기다리지 않고 첫 번째 식에 x=3을 대입한다. 2×3+3y=12, 즉 6+3y=12, 3y=6, y=2가 된다. 처음 풀이와 달라진 부분은 x를 구한 뒤 멈추지 않고, 남은 문자를 원래 식에서 복원했다는 점이다. 최종 해는 (x,y)=(3,2)이다.

대입으로 확인하는 두 식의 조건

검산은 가감법에서 사용한 계산을 그대로 반복하지 않고 원래 두 식에 해를 각각 넣는 방식으로 진행한다. 첫 번째 식에서는 2×3+3×2=6+6=12가 되어 우변 12와 일치한다. 두 번째 식에서는 3×3−2×2=9−4=5가 되어 우변 5와 일치한다. 학생은 이 두 결과를 보고 x=3만으로는 충분하지 않았으며, y=2까지 정해져야 두 조건을 모두 만족한다는 근거를 말한다. 교사는 정답만 옮겨 적었는지보다, 대입한 식과 계산 결과를 남겼는지를 확인한다.

소거 결과 0=0일 때 해의 개수 판단하기

새 문제에서는 2x+3y=12, 4x+6y=24의 해가 하나인지 무수히 많은지 판단한다. 이번에는 계수를 맞춘 뒤 두 식 전체가 같은 경우가 된다. 둘째 식은 첫째 식의 2배이므로 두 식은 서로 다른 조건이 아니라 같은 조건을 나타낸다. 실제로 첫째 식에 2를 곱해 빼면 0=0이 나오지만, 이것을 하나의 해라고 읽으면 안 된다. 이는 새로운 제한이 생기지 않았다는 뜻이다.

첫째 식을 만족하는 쌍을 직접 대입해 보면 (0,4)에서는 3y=12가 되고, (3,2)에서는 6+6=12, (6,0)에서는 12=12가 된다. 이 쌍들은 둘째 식에도 각각 만족하므로 해가 한 값으로 정해지지 않고 무수히 많다. 다음 수업에서는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 뒤 학생이 한 미지수를 구하고 다른 미지수를 복원하는 순서를 혼자 재현하게 한다. “x=3을 첫 식에 넣으면 6+3y=12다.”라는 최소 도움 뒤에는 학생이 y=2를 완성하고, 마지막에 2×3+3×2=12, 3×3−2×2=5를 사용해 원래 조건을 만족하는지 설명하는지를 확인한다.