장전동 중등수학과외

“AB=AC인 삼각형 ABC에서 B의 외각이 110°이다. 세 내각을 구하라.” 학생은 먼저 외각과 그 이웃한 내각의 관계를 확인해야 하지만, 바로 답을 적지는 않는다. 이 문제에서는 꼭짓각을 직접 주는 대신 밑각 B와 붙어 있는 외각을 주었다. 따라서 외각과 내각의 합이 180°라는 조건, 그리고 같은 두 변의 맞은편 각이 같다는 기준을 차례로 사용해야 한다.

외각 110°에서 시작한 조건 비교

교사는 학생에게 “B의 내각과 외각을 더하면 얼마일까?”라고 묻는다. 학생이 외각 110°를 보고 B의 내각을 110°라고 쓰지 않도록, 두 각이 한 직선 위에서 어떤 관계를 이루는지 직접 표시하게 한다. B의 내각=180°-110°=70°이므로 B는 70°이다. AB=AC이므로 같은 두 변의 맞은편 각인 C와 B가 같다는 기준을 유지하면 C도 70°가 된다. 마지막으로 삼각형의 세 내각의 합을 이용하면 A는 40°가 된다.

이 새 조건을 풀기 전에 비교할 대표 문제는 “AB=AC인 삼각형 ABC에서 ∠A=40°이다. ∠B와 ∠C를 구하라.”이다. 학생은 처음 이 문제에 “세 각은 모두 60°다.”라고 작성했다. 세 각의 합이 180°라는 사실만 떠올린 점은 확인할 수 있지만, 주어진 꼭짓각 40°까지 60°로 바꾼 순간 조건을 놓쳤다. 교사는 “주어진 꼭짓각 40°도 60°일까?”라고 짧게 묻고, 학생이 문제의 수치를 기준으로 삼는지 먼저 확인한다.

AB=AC와 세 변이 같다는 조건 구분

학생이 40°를 주어진 값으로 인정하면서도 B와 C를 정하지 못한다면, 교사는 필요한 한 단계만 설명한다. “두 변이 같다는 조건은 세 변이 같다는 조건보다 약해. AB와 AC가 같다는 것만으로 세 변이 모두 같다고 하지는 않아.” 정삼각형이라면 세 각이 모두 60°이지만, 현재 문제에서 확인된 것은 AB=AC뿐이다. 그러므로 세 각을 똑같이 놓는 대신, 두 같은 변의 맞은편 각을 찾아야 한다.

설명을 들은 뒤 학생은 답안을 지우고 스스로 AB=AC이므로 밑각 B=C라고 적는다. 이어 꼭짓각 A가 40°이므로 나머지 두 각의 합은 B+C=180°-40°=140°이다. 두 각이 같으므로 B=C=70°라고 정리한다. 처음 풀이에서는 세 각을 모두 같게 두었지만, 수정 풀이에서는 먼저 같은 변을 확인하고 그 맞은편 각만 같게 정했다는 차이가 식에 드러난다.

대입이 아닌 각의 관계로 정답 확인

정답은 ∠B=70°, ∠C=70°이다. 검산할 때 학생은 같은 계산을 그대로 반복하지 않고 두 가지 근거를 말한다. 먼저 세 내각을 더해 40°+70°+70°=180°인지 확인한다. 이어 AB의 맞은편 각이 C이고 AC의 맞은편 각이 B이므로, AB=AC일 때 ∠C=∠B라는 도형 관계를 확인한다. 두 검산이 모두 맞아야 60°를 일괄 적용한 처음 판단을 버리고 조건에 맞는 답을 선택했다고 볼 수 있다.

외각 문제에서 같은 기준을 다시 선택하기

이제 학생은 처음에 남겨 둔 외각 문제로 돌아온다. B의 외각이 110°이므로 외각과 이웃한 내각의 합이 180°라는 관계에서 ∠B=180°-110°=70°를 구한다. AB=AC이므로 맞은편 각이 같은 기준에 따라 ∠C=70°이다. 세 내각의 합을 사용하면 ∠A=180°-70°-70°=40°가 된다. 외각과 내각의 합은 110°+70°=180°이고, 세 내각도 40°+70°+70°=180°이므로 조건에 맞는다.

다음에는 대표 문제의 조건은 그대로 제시하되 오답과 수정 풀이를 가리고, 학생이 AB=AC만 보고 먼저 같은 두 각을 정하는지 확인한다. 이어 꼭짓각 대신 B의 외각이 110°인 문제를 다시 주어, 학생이 외각에서 B의 내각을 구한 뒤 같은 두 변의 맞은편 각을 스스로 선택하는지 관찰한다. 필요한 경우 “두 변이 같다는 조건은 세 변이 같다는 조건보다 약하다”는 한 관계만 되짚고, 다음 줄은 학생이 직접 적게 한다. 교사는 학생이 B=70°, C=70°, A=40°를 쓴 것뿐 아니라 외각과 내각의 합, 세 내각의 합을 각각 근거로 남겼는지 확인한다.