부산남산동 중등수학과외

삼각형 ABC에서 ∠A=50°, ∠B=60°이고 I가 내심일 때 ∠IBC와 ∠ICB를 구하는 문제를 펼쳤다. 학생은 풀이 첫 줄에 “IA=IB=IC라서 각도 모두 같다.”라고 적었다. 교사는 곧바로 답을 고치기보다 그림과 조건을 나란히 놓고 물었다. “내심과 외심 중 어느 점의 꼭짓점 거리가 같을까?” 부산남산동중등수학과외 수업에서는 이 질문에 대한 학생의 설명과 처음 적은 식이 어디에서 어긋나는지 확인하며 풀이를 다시 시작했다.

IA=IB=IC라는 판단이 조건과 맞는지 확인하기

학생이 ∠A, ∠B, ∠C를 모두 같은 값으로 보았던 것은 한 점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 성질을 떠올렸기 때문일 수 있다. 다만 그 성질은 내심의 정의와 일치하지 않는다. 교사는 “꼭짓점까지의 거리가 같은 점은 어느 중심이지?”라고 짧게 묻고, 학생이 외심이라고 답하는지 기다렸다. 이때 오답 하나만으로 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고, 학생이 내심과 외심의 기준을 말로 구분하는지와 첫 계산에서 어느 조건을 사용했는지를 함께 살폈다.

필요한 설명은 한 단계로 제한했다. 교사는 “내심은 세 변까지의 수직거리가 같으며, 꼭짓점 거리가 같은 점은 외심이다.”라고 말했다. 이어지는 식은 학생이 직접 적도록 했다. 학생은 I에서 세 변에 내린 수선의 길이가 같다는 뜻으로 내심의 같은 거리를 설명하고, 꼭짓점까지의 거리인 IA=IB=IC를 내심의 조건으로 사용할 수 없다고 고쳐 말했다. 이 설명이 먼저 나와야 각의 이등분 성질을 올바르게 연결할 수 있다.

각의 이등분으로 ∠IBC와 ∠ICB 계산하기

학생은 이제 ∠C부터 구했다. 삼각형의 세 내각의 합이 180°이므로 ∠C=180°-50°-60°=70°이다. I가 내심이므로 BI는 ∠B의 이등분선이고 CI는 ∠C의 이등분선이다. 따라서 학생은 직접 ∠IBC=60°÷2=30°, ∠ICB=70°÷2=35°라고 적었다. 처음 풀이에서는 세 꼭짓점까지의 거리만 비교해 모든 각을 같다고 보았지만, 수정 풀이에서는 내심의 위치와 각의 이등분이라는 기준을 사용했다. 같은 그림을 보고도 어떤 성질을 선택하느냐가 답을 바꾸는 지점이었다.

교사는 학생에게 계산을 그대로 반복하지 않는 검산을 맡겼다. 삼각형 BIC에서 이미 구한 두 각의 합은 30°+35°=65°이므로 ∠BIC=180°-65°=115°이다. 한편 내심에서 두 각의 이등분선이 만나는 각은 90°+∠A÷2=90°+25°=115°로도 나타난다. 두 방식의 결과가 일치하므로 ∠IBC=30°, ∠ICB=35°라는 수정 답을 조건과 함께 확인할 수 있다.

반쪽 각에서 전체 내각을 복원하는 적용 문제

새 문제에서는 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠IBC=25°, ∠ICB=35°이다. 이번에는 전체 각을 반으로 나누는 방향이 아니라, 반쪽 각에서 원래 내각을 복원해야 한다. BI와 CI가 각각 각을 이등분하므로 ∠B=25°×2=50°, ∠C=35°×2=70°이다. 따라서 ∠A=180°-50°-70°=60°이다. 확인으로 60°+50°+70°=180°이고, 두 주어진 각이 각각 B와 C의 절반이라는 조건도 다시 대조한다.

다음에는 원래 문제의 조건은 바꾸지 않고 풀이 부분만 가린 상태에서 학생이 먼저 내심의 같은 거리를 세 변까지의 수직거리로 설명하게 한다. 그 뒤 ∠C를 구하고 BI와 CI가 각을 이등분한다는 근거를 적어 ∠IBC=30°, ∠ICB=35°를 완성하게 한다. 마지막에는 삼각형 BIC의 검산으로 ∠BIC=115°를 확인한다. 교사는 학생이 정답만 쓰는지보다, IA=IB=IC를 선택하지 않고 내심의 기준을 혼자 설명하는지 기록한다.