은행동 중등수학과외

“AB와 DE가 빗변이다”라는 답안에서 시작하기

은행동중등수학과외 수업에서 학생은 삼각형 ABC와 DEF의 합동 여부를 판단하는 문제를 풀었다. 조건은 A와 D가 각각 직각이고, BC=EF=13cm, AB=DE=5cm라는 것이었다. 학생은 답안 첫 줄에 “AB와 DE가 빗변이다”라고 적은 뒤, 빗변과 다른 한 변이 같으므로 합동이라고 결론을 내리려 했다. 결론에 사용한 합동 조건의 방향은 살펴볼 필요가 있었지만, 두 변의 길이가 같다는 자료를 찾아 표시한 점은 맞게 처리했다.

교사는 곧바로 풀이 전체를 대신 고치지 않고 “직각 A와 D의 맞은편 변이 무엇이지?”라고 물었다. 학생은 말로는 “직각의 맞은편 변”이라고 답했지만, 종이에 적힌 AB와 DE를 가리켰다. 이때 말로 알고 있는 기준과 실제로 옮겨 적은 판단이 일치하는지 대조했다. 만약 말로는 BC와 EF라고 설명하면서도 식에는 AB와 DE를 썼다면, 개념 설명과 표기 과정 중 어느 부분에서 달라졌는지 따로 확인할 수 있다.

직각의 맞은편 변을 먼저 표시하기

교사는 삼각형 ABC에서 직각 표시가 있는 꼭짓점 A를 짚고, 그 반대편에 놓인 변을 손가락으로 따라가 보게 했다. 빗변은 직각의 맞은편 변이므로 이 문제에서는 BC가 빗변이다. 같은 방법으로 D의 맞은편 변은 EF이다. 교사가 제공한 설명은 여기까지였고, 학생은 각의 위치를 기준으로 빗변을 직접 다시 표시했다.

학생은 처음 적은 “AB와 DE가 빗변이다”라는 문장을 지우고, “A와 D가 직각이므로 빗변은 각각 BC와 EF이다”라고 고쳐 썼다. 이어 BC=EF=13cm라는 조건을 빗변의 대응으로 옮겼다. 그다음 AB=DE=5cm이므로 빗변이 아닌 다른 한 변도 서로 같다고 정리했다. 처음 풀이에서는 길이 5cm인 변을 빗변으로 잘못 선택했지만, 수정 풀이에서는 각의 위치를 먼저 확인한 뒤 길이 조건을 대응시킨 점이 달라졌다.

합동 결론과 대응 꼭짓점 확인

학생은 수정한 풀이에 “빗변과 다른 한 변이 각각 같으므로 직각삼각형의 합동 조건을 만족한다”라고 적었다. 따라서 두 삼각형은 합동이고, 직각 꼭짓점끼리는 A↔D로 대응한다. 빗변 BC와 EF의 양 끝점 대응 및 5cm 변의 대응을 함께 대조하면 B↔E, C↔F가 된다. 문제에서 요구한 대응 꼭짓점은 A↔D, B↔E, C↔F이다.

검산은 같은 합동 조건을 반복해서 읽는 방식으로 끝내지 않았다. 먼저 A와 D가 직각인지 확인하고, 그 맞은편인 BC와 EF가 실제로 13cm인지 조건표와 대조했다. 다음으로 5cm인 AB와 DE가 각각 직각 꼭짓점에 연결된 대응 변인지 확인했다. 이렇게 하면 빗변을 작은 변으로 잘못 고른 처음 판단이 조건과 맞지 않는다는 점과, 수정한 대응 관계가 원래 자료와 일치한다는 점을 동시에 확인할 수 있다.

두 직각변이 주어졌을 때 합동 조건 바꾸기

새 적용 문제에서는 빗변과 한 직각변 대신, 두 직각삼각형의 두 직각변 길이가 각각 5cm와 12cm로 같다고 제시한다. 여기서는 먼저 빗변을 찾는 것보다 주어진 두 변과 그 사이의 각을 살펴봐야 한다. 두 직각변 사이의 끼인각은 두 삼각형에서 모두 90°이므로, 두 변과 끼인각이 각각 같다는 SAS 합동 조건을 적용한다. 따라서 두 삼각형은 합동이다. 유지되는 원리는 변과 각의 대응을 조건에 맞게 확인하는 것이며, 달라진 점은 빗변과 한 변이 아니라 두 직각변과 그 사이 각을 사용한다는 데 있다.

다음 수업에서는 대표 문제의 자료를 그대로 두되 기존 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 풀이를 시작하게 한다. 학생이 A와 D의 위치를 보고 직각의 맞은편인 BC와 EF를 먼저 표시한 뒤, 13cm와 5cm의 대응을 식으로 적는지 확인한다. 마지막에는 빗변과 5cm 변의 대응을 조건과 대조하고, 각의 위치를 근거로 합동 조건을 선택했다고 설명하는지를 관찰한다.