은행동 고등수학과외

오답에서 사라진 조건 찾기

“길이 2, 3, 6인 세 선분으로 삼각형을 만들 수 있는지 판단하라.” 이 문제에서 이렇게 답했다면, 먼저 풀이에 어떤 조건이 빠졌는지 찾아본다. “코사인법칙을 쓰면 각을 구할 수 있으니 가능하다”는 생각은 각을 계산하는 도구를 사용할 수 있다는 사실과 실제 삼각형이 존재한다는 조건을 같은 것으로 본 경우다. 배움노트 고등수학 수업에서는 세 변이 주어졌다는 이유만으로 삼각형이 만들어진다고 가정하지 않았는지, 또는 삼각형 부등식과 각의 종류를 판단하는 제곱합 조건을 혼동하지 않았는지 질문으로 확인한다. 가장 긴 변 6에 대해 짧은 두 변의 합 2+3이 6보다 큰가를 직접 비교하게 한다.

존재 여부를 먼저 확인하고 식을 세우기

삼각형이 만들어지려면 임의의 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변보다 커야 한다. 특히 가장 긴 변만 확인해도 2+3>6인지 판단할 수 있는데, 실제로는 5<6이다. 따라서 세 선분을 이어 삼각형을 만들 수 없으며 정답은 불가능이다. 이 단계에서 교사는 결론을 바로 말하기보다 학생이 부등식을 쓰고, 5와 6의 대소를 표시한 뒤 “가장 긴 변이 다른 두 변의 합보다 길다”는 이유를 문장으로 완성하게 한다. 그 다음에야 각의 종류를 판단하는 식을 비교한다. 형식적으로 가장 긴 변 맞은편 각에 코사인법칙의 식을 적용하면 (2²+3²−6²)/(2·2·3)=(4+9−36)/12=−23/12이다. 이 값은 코사인의 범위인 [−1,1] 밖이므로 실제 삼각형의 각을 나타낼 수 없다. 이는 삼각형이 존재하지 않는다는 판단과 같은 결론을 뒷받침하는 부분 검산이지, 존재하지 않는 각을 구했다는 뜻은 아니다.

조건을 남긴 채 다른 문제에 다시 적용하기

수정한 뒤에는 문제와 조건인 a=BC=3, b=CA=4, c=AB=6, 그리고 각 C의 종류를 묻는다는 내용만 남기고 풀이와 정답 표시는 가린 상태에서 시작한다. 먼저 3+4>6이므로 삼각형이 존재함을 쓴다. 이제 각 C를 판단하기 위해 cos C=(a²+b²−c²)/(2ab)를 세우고, cos C=(3²+4²−6²)/(2·3·4)=(25−36)/24=−11/24<0으로 계산한다. 코사인값이 음수이므로 C는 둔각이다. 또한 c²=36이 a²+b²=25보다 크다는 둔각 판정과도 일치한다. 두 문제는 숫자 일부만 달라진 것이 아니라, 첫 문제에서는 존재 조건이 깨졌고 두 번째에서는 성립한 뒤 각을 판단한다는 점이 다르다. 교사는 학생이 첫 단계를 지우고도 존재 조건을 직접 작성하는지, 새 조건을 처리할 때 도형의 겉모양만 보고 직각을 가정하지 않는지 확인한다. 도형을 다시 그린다면 변의 길이와 각의 이름을 표시하고, 마지막에 부등식·코사인 부호·제곱합을 대조해 풀이의 근거를 남긴다.