인천 중등수학과외

가상의 중2 수업에서 학생은 먼저 답안 한 줄을 내밀었다. 문제는 a≠0, b≠0일 때 12a⁵b³÷(−3a²b)를 간단히 하라는 것이었고, 학생은 “12a⁵b³÷(−3)×a²b=−4a⁷b⁴”라고 적었다. 인천중등수학과외 수업에서는 정답을 곧바로 알려 주지 않고, 이 식이 문제의 나눗셈 조건과 어디에서 달라졌는지 먼저 좁혀 갔다.

−3a²b 전체가 나누는 대상인가

교사는 학생이 계수 12를 −3으로 나누어 −4를 얻은 부분은 먼저 인정했다. 다만 괄호 안의 식을 −3과 a²b로 나누어야 하는지, 아니면 하나의 단항식 전체로 보아야 하는지가 핵심이었다. 교사는 짧게 물었다. “괄호 속 a²b도 나누는 대상일까?”

학생은 말로는 “전체를 나누는 것”이라고 답했지만, 적어 놓은 계산에서는 ÷(−3) 뒤에 a²b를 곱하고 있었다. 교사는 말로 설명한 기준과 실제로 옮겨 쓴 계산을 나란히 대조했다. 이 차이만으로 원인을 단정하지 않고, 괄호를 옮겨 쓰는 과정에서 부호와 지수 처리가 어떻게 바뀌었는지도 함께 확인했다. 처음 답안의 a⁷, b⁴는 나누어야 할 인수를 오히려 곱한 결과라는 점이 드러났다.

분수의 분모에 나누는 단항식 놓기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 시범으로 보였다. −3a²b 전체로 나누므로 모든 인수가 분모에 온다는 관계를 보여 주며, 12a⁵b³을 분자에 두고 −3a²b를 통째로 분모에 놓았다. 학생에게는 “이제 나누는 단항식 전체를 분수의 분모에 직접 써 보자”라고 맡겼다.

학생은 기존 답안의 ÷(−3)×a²b를 지우고 다음과 같이 다시 적었다.

12a⁵b³÷(−3a²b)=(12÷(−3))(a⁵÷a²)(b³÷b)=−4a³b²

계수는 12÷(−3)=−4, 같은 밑의 지수는 빼므로 a⁵÷a²=a³, b³÷b=b²가 된다고 학생이 직접 설명했다. 처음 풀이에서는 a²b를 곱셈 인수로 옮겼지만, 수정 풀이에서는 분모에 남겨 지수를 줄였다는 차이가 분명해졌다.

곱셈으로 원래 식 복원하기

정답 −4a³b²는 같은 계산을 반복하지 않고 곱셈으로 확인했다. 나눗셈의 결과에 나누는 식을 곱해 원래 분자를 복원하면 된다.

(−4a³b²)(−3a²b)=12a⁵b³

계수는 (−4)(−3)=12이고, a의 지수는 3+2=5, b의 지수는 2+1=3이다. 따라서 수정한 답이 처음 주어진 분자와 정확히 일치한다. 이 검산은 원래처럼 분자를 나누는 계산을 다시 반복한 것이 아니라, 나눈 결과로 분자를 되살리는 방식이다.

나눗셈을 빠진 인수 찾기로 바꾸기

조건을 바꾼 적용 문제에서는 나눗셈 기호 대신 곱셈 관계를 사용한다. a≠0이고 3a²·M=−12a⁵b일 때 단항식 M을 구하라는 문항이다. 이번에는 나누는 식이 0이 아님을 확인한 뒤, M을 빠진 인수로 생각한다. 학생은 M을 분수의 형태로 직접 나타내어 M=(−12a⁵b)÷(3a²)=−4a³b라고 계산한다.

확인은 3a²(−4a³b)=−12a⁵b로 한다. 다음 수업에서는 대표 문제의 자료와 기존 풀이를 보이지 않은 채, 학생이 시작하자마자 나누는 단항식 전체를 분수의 분모에 놓는지 관찰한다. 이어 계산한 결과를 조건에 대입해 원래 식이 복원되는 이유까지 스스로 설명하는지를 확인한다.