인천 고등수학과외

사라진 조건부터 다시 표시하기

“(2x−1)⁴에서 x²의 계수를 구하라.” 이 문제를 보고 이렇게 답했다면, ⁴번의 선택 중 2번을 고르는 방법을 세어 ⁴C₂·2=12라고 계산했을 수 있다. 먼저 이 값이 실제로 무엇을 뜻하는지 확인한다. ⁴C₂는 네 자리에서 2x를 고를 위치를 정하는 경우의 수이고, 뒤의 2는 아직 어떤 항에서 나온 것인지 분명하지 않다. 이항 전개에서는 선택한 항의 계수와 문자 부분, 선택하지 않은 항까지 모두 곱해야 하므로, 오답에서는 2x의 계수 2가 몇 번 곱해지는 조건이 사라졌다.

오답 하나만 보고 곧바로 원인을 정하지 않는다. “개수를 고르는 데 순서가 필요한가?”, “2x를 두 번 선택하면 2는 몇 번 곱해지는가?”, “x²이 되려면 x가 들어 있는 항을 몇 번 골라야 하는가?”라고 묻는다. 학생은 답을 듣기 전에 2x를 고른 횟수와 −1을 고른 횟수를 각각 표시하고, 계수와 문자의 곱을 따로 적어 본다. 같은 종류의 항을 여러 개 고르는 결과는 종류별 개수로 나타나지만, 이항계수는 어느 자리를 선택할지 세는 수라는 차이도 함께 확인한다.

선택 위치와 항의 값을 분리해 계산하기

네 번의 곱에서 x²이 나오려면 2x를 두 번, −1을 두 번 선택해야 한다. 2x를 고를 위치는 ⁴C₂=6가지이고, 각 선택에서 실제 곱은 (2x)²(−1)²이다. 따라서 계수 부분은 ⁴C₂·2²·(−1)²가 된다. 여기서 2²는 x의 지수와 별개로, 2x라는 항을 두 번 선택했기 때문에 생긴다. 학생이 교사의 설명을 그대로 받아 적는 데서 멈추지 않도록, “이 식에서 x²을 만드는 부분은 무엇이고 계수 24를 만드는 부분은 무엇인가?”를 다시 묻고 다음 줄을 직접 완성하게 한다.

학생이 6·4·1=24라고 적었다면, 6은 선택 위치의 수, 4는 두 번 선택한 2의 곱, 1은 (−1)²의 값이라고 말로 짚어 보게 한다. 이어서 전개식에서 같은 항이 실제로 몇 번 나타나는지도 대조한다. 선택된 두 2x와 남은 두 −1의 곱은 어느 두 자리를 골라도 4x²이므로, 이런 경우가 여섯 개이고 x²의 계수는 6·4=24이다. 특정 수를 넣어 확인하는 것은 부분 검산일 뿐이며, 이 결론은 이항정리의 일반항과 모든 선택 위치에 공통으로 적용된다.

표현이 바뀌어도 조건을 옮겨 적용하기

이제 풀이와 정답을 가리고, 문제와 필요한 자료만 남긴 채 “(x+1)⁴에서 x²의 계수를 구하라”를 시작한다. 앞 문제와 선택 방법은 같지만 항의 계수가 2에서 1로 바뀌었으므로, 단순히 숫자 24를 옮기지 않는다. x를 두 번 선택하는 위치의 수 ⁴C₂를 먼저 적고, 선택한 x의 계수 1도 두 번 곱해야 하는지 확인한다. 일반항 ⁴Cₖ·xᵏ에서 k=2를 대입하면 ⁴C₂=6이며, 전개식 x⁴+4x³+6x²+4x+1과도 일치한다.

이 과정은 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 항의 계수라는 조건이 달라진 경우에 판단을 옮기는 연습이다. 마지막에는 학생이 선택한 항의 수와 남은 항의 수를 나누어 표시하고, 계수의 거듭제곱을 빠뜨리지 않은 계산을 스스로 구성하는지 살핀다. 풀이 순서가 보이지 않는 상태에서도 6을 얻은 뒤 전개식의 x² 항과 대조한다면, 다음 이항 전개에서도 위치 선택, 계수의 거듭제곱, 부호와 지수를 차례로 점검할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 답을 외우기보다 사라진 조건을 찾아 직접 표시하고, 다른 조건의 문제에 다시 적용하는 과정을 중심에 둔다.