청주송정동 중등수학과외

청주송정동중등수학과외 수업에서 교사는 한 학생이 적어 온 식과 문제 조건을 나란히 놓았다. 평평한 바닥에서 벽까지 수평거리는 20m이고, 관측자의 눈높이는 1.5m이다. 눈에서 벽 꼭대기를 올려본 각이 수평선과 30°이며 tan30°=√3/3일 때 벽의 높이를 구하는 문제였다. 학생은 눈보다 높은 부분을 h라고 두고 h=20÷tan30°이라고 작성했다. 교사는 곧바로 식을 지우지 않고 “이 식이 문제의 삼각비 방향과 맞을까?”라고 물었다.

20m와 h를 탄젠트에 배치한 순간

학생은 20m와 눈보다 높은 부분 h를 문제에서 찾아낸 점은 맞았다. 또한 눈높이 1.5m가 따로 주어졌다는 것도 표시해 두었다. 다만 처음 계산에서는 탄젠트가 어느 두 변의 비인지 정하지 않은 채 수평거리를 tan30°로 나누었다. 이 한 장면만으로 삼각비 개념 전체를 모른다고 단정하지 않기 위해, 교사는 짧게 확인했다. “tan30°가 h/20일까, 20/h일까?” 학생에게는 말로 답하는 것과 방금 쓴 첫 식을 동시에 보여 달라고 했다. 학생은 말로는 “높이를 거리로 나눈다”고 했지만, 종이에 적은 식은 그 설명과 반대로 되어 있었다. 따라서 확인할 판단 지점은 계산 능력보다 기준각에 대한 변의 방향이었다.

눈보다 높은 부분을 먼저 삼각형으로 보기

교사는 전체 벽 높이를 곧바로 계산하지 않고, 눈높이에서 벽 꼭대기까지의 높이 차만 직각삼각형의 맞은편 변으로 표시했다. 그리고 한 단계만 시범으로 보였다. 맞은편 높이를 이웃 수평거리로 나눈 비가 탄젠트이므로, 이 문제에서는 눈보다 높은 부분을 h라고 할 때 tan30°=h/20이라는 관계가 된다고 설명했다. 이어서 “이제 h와 20 중 어느 것이 기준각의 맞은편이고 어느 것이 이웃변인지 표시해 보자”라고 했다. 학생은 교사가 식을 완성해 주기를 기다리지 않고, 벽의 꼭대기에서 눈높이까지 세로로 h를 표시하고 바닥의 20m를 가로로 다시 표시했다.

학생이 고쳐 쓴 식과 벽 전체 높이

학생은 수정 풀이에 h/20=√3/3이라고 적었다. 양변에 20을 곱해 h=20√3/3m을 얻었고, 이 값은 눈보다 높은 부분이라는 점을 옆에 덧붙였다. 따라서 벽 전체 높이는 눈높이 1.5m를 더하여 20√3/3+1.5m가 된다. 처음 풀이와 달라진 부분은 20을 tan30°로 나눈 계산을 바꾼 것이 아니라, 먼저 맞은편 변과 이웃변의 위치를 정한 뒤 비례식을 세운 점이다. 교사는 학생에게 “왜 1.5m를 마지막에 더했지?”라고 물었고, 학생은 h가 눈높이부터 꼭대기까지의 높이 차이기 때문이라고 자신의 그림을 가리키며 설명했다.

같은 식을 반복하지 않는 검산과 새 조건

검산은 원래 식을 그대로 다시 계산하는 방식으로 끝내지 않았다. 학생은 완성한 벽 전체 높이에서 눈높이를 뺐다. 그러면 (20√3/3+1.5)-1.5=20√3/3이 되어 눈보다 높은 부분 h가 다시 나온다. 이 값을 수평거리 20m로 나누면 (20√3/3)÷20=√3/3이고, 이는 주어진 tan30°와 같다. 높이 전체와 눈높이를 섞지 않았는지, 맞은편 높이를 이웃 수평거리로 나누었는지를 다른 방향의 확인으로 점검한 셈이다.

조건을 바꾼 적용 문제에서는 눈높이 1.5m인 관측자가 높이 11.5m인 벽의 꼭대기를 수평선에서 45°로 올려본다. 이번에는 전체 높이가 주어지고 수평거리를 구해야 한다. 먼저 학생은 눈 위 높이를 11.5-1.5=10m로 계산한 뒤, 수평거리를 d라 놓고 10/d=tan45°=1을 세워 d=10m을 얻는다. 다음 수업에서는 원래 문제의 풀이 부분을 가린 자료를 주고, 학생이 기준각의 맞은편과 이웃변을 혼자 표시한 뒤 식을 작성하게 한다. 정답뿐 아니라 “왜 10을 d로 나누는가”를 말하고, 마지막에 전체 높이에서 1.5m를 뺀 값을 수평거리로 나누어 주어진 탄젠트와 일치시키는지 확인한다.