청주송정동 고등수학과외

“기댓값은 한 번의 결과인가, 가중평균인가?”

확률과 통계에서 이 질문을 먼저 던져 본다. X가 0 또는 2의 값을 가지고, 각각의 확률이 1/2이라고 하자. 이때 “평균은 실제 가능한 값이어야 하는가?”라고 물었을 때, 이렇게 답했다면 풀이의 어느 부분에서 판단이 달라졌는지 확인할 수 있다. X=1이 없으니 평균을 구할 수 없다고 생각했다면, 평균을 한 번의 시행에서 실제로 관찰되는 결과와 같은 것으로 이해했을 가능성이 있다. 그러나 기댓값은 한 번의 결과를 예측하는 값이 아니라, 각 값에 확률을 가중치로 곱해 더한 값이다.

먼저 확률분포의 조건부터 확인한다. 각 확률은 0 이상이고 전체 합은 1이어야 한다. 그런 다음 학생이 처음 쓴 식을 직접 다시 적게 하며, 값의 단순평균을 구한 것인지 확률을 반영한 가중합을 구한 것인지 대조한다. 분산을 함께 다룰 때에도 평균에서 얼마나 떨어졌는지를 제곱해 확률과 곱하는 양이므로, 기댓값·분산·표준편차를 같은 의미나 같은 단위로 읽지 않는지 확인해야 한다.

확률을 곱해 기댓값을 계산하고 뜻을 대조하기

교사는 기준이 되는 식만 제시한다. E(X)=0·1/2+2·1/2이다. 이제 각 항이 무엇을 뜻하는지 학생이 말하고 계산하도록 기다린다. 0에 확률 1/2을 곱한 값과 2에 확률 1/2을 곱한 값을 더하면 E(X)=1이 된다. 학생이 직접 “평균은 1이며, 1은 X의 가능한 값이 아니어도 된다”고 수정해 쓴다면, 계산 결과와 개념 설명이 연결된 것이다. 0과 2가 같은 비중으로 놓일 때 그 균형점이 1이라는 점도 함께 확인한다. 1은 어느 한 시행의 결과가 아니라 여러 결과를 확률로 반영한 평균이므로, ‘평균은 실제 가능한 값이어야 한다’는 주장은 거짓이다.

이때 0과 2의 단순평균도 우연히 1이지만, 기댓값의 근거는 단순히 두 수를 더해 나눈 데 있지 않다. 확률이 각각 1/2이기 때문에 가중합이 그 계산과 같아진 것이다. 확률이 달라지면 두 계산을 구분해야 한다. 따라서 한 번의 결과인지, 확률을 반영한 평균인지 질문하고, 식의 각 숫자와 답의 뜻을 학생이 직접 표시하게 한다.

표현과 조건을 바꾸어 독립적으로 다시 확인하기

풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남겨 다시 시작한다. X=0, 2의 확률이 각각 3/4, 1/4일 때 E(X)를 구하는 상황이다. 학생은 값마다 주어진 확률을 곱해 E(X)=0·3/4+2·1/4=1/2을 얻는다. 정답은 1/2이다. 이를 0, 0, 0, 2라는 네 자료에 동일한 가중치를 준 것으로 바꾸어 생각해도 평균은 1/2이므로 부분 검산이 된다.

앞선 문제와 표현만 달라진 것이 아니라 확률 조건이 실제로 바뀌었음을 구분해야 한다. 이번에도 1/2은 X가 취할 수 있는 값인지와 관계없이 기댓값이 될 수 있다. 학생이 “기댓값은 가능한 결과 목록에서 고르는 값이 아니라, 각 결과와 확률의 곱을 더한 가중평균”이라는 근거를 다시 적는지 살핀다. 계산식만 남아 있다면 값·확률·평균에서의 차를 같은 표의 행에 나란히 놓고, 기댓값과 분산의 역할을 다시 대조한다. 다음에는 확률이 서로 다른 분포에서 기댓값과 분산을 각각 계산하며 이 구분이 유지되는지 확인한다.