대전중구 초등수학과외

두 사다리꼴의 모양과 비교할 문제

이 글은 대전중구초등수학과외 수업에서 활용할 수 있는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 윗변 3cm, 아랫변 7cm, 수직 높이 4cm인 사다리꼴과 윗변 4cm, 아랫변 6cm, 수직 높이 4cm인 사다리꼴을 준비합니다. 두 도형은 밑변의 길이는 다르지만 높이는 같고, 두 밑변을 더한 값은 각각 10cm입니다. 질문은 “윗변을 1cm 늘리고 아랫변을 1cm 줄이면 넓이가 어떻게 될까?”입니다. 아이는 윗변이 길어졌다는 사실만 보고 두 번째 사다리꼴의 넓이가 더 클 것이라고 말할 수 있습니다. 그러나 이 문제에서는 아랫변도 같은 길이만큼 줄어들었으므로 한쪽 밑변의 변화만 보고 판단할 수 없습니다.

물건과 식으로 어려운 지점 확인하기

윗변·아랫변·수직 높이가 표시된 같은 사다리꼴 두 장을 나란히 놓고, 공식에서 사용하는 두 밑변이 서로 평행한 변이라는 점을 먼저 살핍니다. 교사는 아이에게 “3cm와 7cm 중 어느 변이 서로 평행한가?”, “4cm와 6cm를 더하면 얼마인가?”라고 묻습니다. 아이가 윗변과 옆변을 혼동하거나 윗변이 늘어난 것만 가리킨다면, 문제의 뜻을 이해하지 못한 것인지 평행한 변을 찾는 데 막힌 것인지 바로 단정하지 않습니다. 실제 자료에서 평행한 두 변을 손가락으로 짚게 하고, 수직 높이 4cm를 표시한 선을 따라가 보게 하며 어느 부분을 공식에 넣는지 확인합니다. 같은 사다리꼴의 넓이는 (3+7)×4÷2=20cm²이고, 다른 사다리꼴은 (4+6)×4÷2=20cm²입니다. 따라서 윗변이 늘어난 만큼 아랫변이 줄어 두 밑변의 합이 그대로라면, 높이가 같은 범위에서 넓이는 같다고 해석해야 합니다.

두 장을 합쳐 넓이의 관계 보여 주기

교사는 사다리꼴 한 장을 돌려 다른 한 장에 맞추어 붙이는 모습을 시범으로 보입니다. 아이는 이어서 두 장의 평행한 변과 높이를 맞추고, 합친 도형이 평행사변형처럼 보이는지 확인합니다. 두 사다리꼴을 합친 도형의 넓이는 원래 두 장의 넓이를 합한 것이므로 20cm²+20cm²=40cm²입니다. 아이가 합친 도형의 넓이를 구한 뒤 다시 한 장으로 돌아오면, 두 장의 면적을 2로 나누어 40÷2=20cm²라고 적습니다. 말로 이유를 길게 설명하지 못하더라도 두 밑변을 가리키고, 3cm와 7cm 또는 4cm와 6cm를 묶어 10cm로 나타내며, 높이 4cm를 그려 보이면 같은 관계를 확인할 수 있습니다. 교사가 한쪽 도형의 맞추는 방법을 보여 준 뒤에는 아이가 다른 쪽을 직접 돌려 붙이고 두 밑변의 합이 변하지 않았는지 다시 살펴보게 합니다.

새로운 조건에서 평행한 두 변 찾기

기본 문제의 숫자와 모양을 그대로 외웠는지 확인하기 위해 새 자료를 사용합니다. 이번에는 평행변의 길이가 4cm와 8cm이고 수직 높이가 3cm인 사다리꼴을 제시합니다. 아이가 옆변을 밑변으로 골라 표기했다면, 교사는 옆변의 위치가 아니라 서로 평행한 두 변을 자료에서 직접 찾아 표시하게 합니다. 아이가 두 평행한 변을 가리킨 뒤 넓이를 계산하면 (4+8)×3÷2=18cm²입니다. 기본 문제와 달라진 것은 밑변의 수치와 높이이며, 그대로 유지되는 관계는 평행한 두 밑변의 합에 높이를 곱한 뒤 2로 나누는 방법입니다. 필요하다면 윗변 5cm, 아랫변 9cm, 높이 4cm인 사다리꼴을 뒤집어 두 밑변의 이름을 바꾼 자료도 비교할 수 있습니다. 이때도 (5+9)×4÷2=28cm²로 넓이는 같으므로, 이름이나 방향이 바뀌어도 평행한 두 변과 높이를 올바르게 찾는지가 다음 확인 내용이 됩니다. 재시도에서는 문제와 사다리꼴 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 뒤, 아이가 두 밑변을 다시 짚고 식과 모형을 연결해 답을 구하게 합니다.