대사동 초등수학과외

4행 16열 점 배열에서 생기는 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 점 배열을 보고 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 종이에 점이 4행 16열로 놓여 있고, 전체 점의 수를 곱셈으로 나타내야 합니다. 교사는 점 배열 종이에 위아래로 분해선을 그어 두 행씩 나눈 뒤, “가로로 나눈 그림과 세로 열을 나눈 그림은 같은 그림일까?”라고 묻습니다. 이때 아이가 가로로 나눈 뒤에도 세로로 나눈 식을 그대로 쓰려고 할 수 있습니다. 그러나 두 그림의 전체 점 수가 같더라도 나누는 방향에 따라 각 부분의 행과 열이 달라집니다.

먼저 활동에 필요한 이해를 확인합니다. 아이가 점 배열을 두 부분으로 나누고 각 부분의 행 수와 열 수를 살펴 구구단으로 계산할 수 있는지는 자료를 직접 다루며 확인합니다. 말로 설명하는 능력을 이미 갖추었다고 단정하지 않고, 점을 하나씩 짚거나 분해선의 양쪽을 손가락으로 가리키는 행동도 함께 봅니다. 위아래로 나눈 경우에는 두 부분 모두 2행 16열이므로, 한 부분은 16×2로 나타낼 수 있습니다.

분해선 양쪽의 모양을 식으로 옮기기

교사는 먼저 한쪽 부분을 짚으며 “이 부분에는 몇 행이 있고, 한 행에 점이 몇 개 있나요?”라고 묻습니다. 아이가 바로 답하지 못하면 교사가 두 행을 손으로 따라가고, 한 행의 16개 점을 함께 세어 봅니다. 그런 다음 다른 부분도 같은 방식으로 살펴보게 합니다. 중요한 것은 분해선 양쪽의 모양을 각각 세어 식으로 연결하는 것입니다. 두 부분은 모두 2행 16열이므로 아이는 16×2+16×2=64를 적을 수 있습니다.

아이가 식의 숫자를 적은 뒤에는 점 배열과 다시 맞춰 봅니다. 첫 번째 16×2는 위쪽 두 행의 점 32개, 두 번째 16×2는 아래쪽 두 행의 점 32개를 나타냅니다. 두 부분을 합치면 원래 4행 16열의 점 배열이 되므로 전체는 64개입니다. 이때 16과 2는 단순히 자리에 들어간 숫자가 아니라 각각 한 부분의 열 수와 행 수를 나타냅니다. 교사가 “세로 열을 나눈다면 각 부분의 행과 열은 어떻게 달라질까요?”라고 묻고, 아이가 분해선을 세로로 그어 보게 하면 가로 분해와 세로 분해가 같은 전체를 만들더라도 부분의 식은 같은 모양으로 적히지 않을 수 있음을 확인할 수 있습니다.

설명 뒤 아이가 다시 해 보는 과정

아이가 긴 문장으로 이유를 말하기 어렵다면 교사는 한 부분의 점을 짚어 2행을 보여 주고, 이어지는 부분은 아이가 직접 세어 보게 합니다. 아이는 분해선 양쪽의 행과 열을 각각 적고, 두 부분의 곱을 더해 원래 배열을 복원합니다. 교사의 시범으로 끝내지 않고, 문제와 점 배열 종이는 그대로 둔 채 해설과 정답만 가리고 처음 상태처럼 4행 16열을 다시 놓아 보게 합니다. 아이는 위아래로 두 행씩 나눈 뒤 각 부분을 다시 16×2로 나타내고, 32+32 또는 16×2+16×2를 이용해 64를 구합니다. 답을 기억해 적는지, 실제 자료를 가리키며 두 부분의 양을 근거로 삼는지는 행동으로 확인할 수 있습니다.

열의 수가 달라진 새 문제와 다음 확인

이어서 새로운 자료로 4행 17열 점 배열을 제시하고, 역시 위아래 두 행씩 나누어 보게 합니다. 기본 문제와 달라진 것은 한 행의 점 수가 16개에서 17개로 바뀐 점이며, 나누는 방향과 각 부분의 행 수는 같습니다. 따라서 각 부분은 2행 17열이고, 식은 17×2+17×2=68입니다. 아이가 새 배열에서도 분해선 양쪽의 모양을 확인한 뒤 68을 구하는지 살펴봅니다.

추가 비교가 필요할 때는 18×3을 10+8, 9+9, 20-2로 나누어 볼 수 있습니다. 각각 30+24=54, 27+27=54, 60-6=54가 되어 편리한 분해 방법이 여러 가지임을 보여 줍니다. 다음에는 숫자만 바뀐 답을 외우는지보다, 달라진 자료에서 각 부분의 행과 열을 다시 확인하고 그 이유를 그림이나 식으로 나타내는지를 확인합니다.