오륜동 초등수학과외

테두리를 재는 문제와 아이의 첫 반응

도형의 테두리 길이와 안쪽에 덮이는 면적은 서로 다른 양입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 6cm, 세로 2cm인 직사각형과 가로 5cm, 세로 3cm인 직사각형을 준비하고, “둘레가 같은 두 직사각형은 넓이도 같을까?”라고 묻습니다. 문제를 확인하기 전에는 아이가 경계를 cm로 재거나 내부를 1cm² 칸으로 덮는 일을 이미 할 수 있다고 단정하지 않고, 먼저 어떤 대상을 어떻게 재는지 살펴봅니다.

1cm² 모눈 종이에는 직사각형의 안쪽을 칸으로 채워 볼 수 있고, 경계를 따라갈 때는 실을 사용할 수 있습니다. 실은 바깥쪽 선의 길이를 확인하는 자료이고, 모눈의 한 칸은 넓이의 단위입니다. 아이가 두 도형의 바깥 변을 차례로 따라가면서도 안쪽 칸의 수와 같은 것으로 생각한다면, 무엇을 세고 있는지 다시 구분해 볼 필요가 있습니다. 둘레는 네 변을 빠짐없이 잰 길이이고, 넓이는 내부를 덮은 칸의 전체 수입니다.

같은 둘레를 실과 모눈으로 나누어 보기

교사는 먼저 6cm×2cm 직사각형의 경계를 실로 따라가게 합니다. 가로 6cm와 6cm, 세로 2cm와 2cm를 더하면 둘레는 6+2+6+2=16cm입니다. 이어서 1cm² 모눈을 안쪽에 놓으면 가로로 6칸씩 두 줄이므로 넓이는 6×2=12cm²입니다. 아이가 실을 모눈 안쪽 칸의 수처럼 세려 하면, 교사는 손가락으로 바깥 네 변을 짚은 뒤 “지금 확인하는 것은 선을 따라간 길이인지, 안을 채운 칸인지”를 묻습니다.

다음에는 5cm×3cm 직사각형을 같은 방법으로 확인합니다. 네 변의 길이는 5cm, 3cm, 5cm, 3cm이므로 둘레는 5+3+5+3=16cm입니다. 그러나 안쪽 모눈은 가로 5칸이 세 줄로 놓여 넓이가 5×3=15cm²입니다. 두 도형은 둘레가 모두 16cm이지만 넓이는 각각 12cm²와 15cm²입니다. 가로와 세로의 합은 두 도형에서 같아도, 넓이는 가로와 세로를 곱해 구하므로 결과가 달라질 수 있습니다.

아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 6cm×2cm 모눈에서 칸을 하나씩 짚고, 5cm×3cm 모눈에서는 세 줄을 옮겨 표시하게 할 수 있습니다. 또는 실은 바깥 선에 놓고, 모눈 칸은 안쪽에 채우게 하면서 두 자료가 나타내는 대상을 가리켜 보게 합니다. 이때 정답 숫자만 따라 쓰는지, 16이라는 수에 cm를 붙여 길이를 나타내고 12와 15에는 cm²를 붙여 면적을 나타내는지 확인합니다.

해설을 가린 뒤 다시 해결하기

재시도에서는 문제에 나온 두 직사각형과 실, 1cm² 모눈 자료는 그대로 둡니다. 다만 16cm, 12cm², 15cm²라는 해설과 정답은 보이지 않게 하고, 아이가 처음 상태에서 다시 실을 경계에 맞추고 모눈을 안쪽에 채우도록 합니다. 교사가 한쪽 변을 따라가는 시범을 보인 뒤에는 아이가 네 변을 모두 확인하게 합니다. 모눈을 채운 뒤에는 가로 칸 수와 세로 줄 수를 세어 넓이를 구하고, “둘레가 같은가?”, “넓이도 같은가?”를 자료로 판단하게 합니다.

아이가 둘레와 넓이를 혼동하면 교사는 실을 가리키며 cm를, 모눈 한 칸을 가리키며 cm²를 다시 연결해 줍니다. 아이가 직접 6+2+6+2와 6×2를 구분해 적거나, 5+3+5+3과 5×3을 각각 계산하면 행동과 식이 같은 양을 나타내는지 함께 확인할 수 있습니다. 말로 설명하지 못하더라도 바깥선을 따라간 뒤 내부 칸을 채우고, 두 결과에 서로 다른 단위를 붙이면 이해한 근거가 드러납니다.

새 직사각형에 적용하고 다음 행동 확인하기

이어서 가로 8cm, 세로 3cm인 새로운 직사각형을 제시합니다. 기본 문제와 숫자와 모양의 크기가 달라졌지만, 테두리의 길이는 네 변을 더하고 내부의 면적은 가로와 세로를 곱한다는 관계는 같습니다. 아이가 실로 경계를 따라가면 8+3+8+3=22cm가 되고, 1cm² 모눈으로 안쪽을 덮으면 8×3=24cm²가 됩니다. 측정하는 대상이 다르므로 둘레는 22cm, 넓이는 24cm²라고 구분해 적습니다.

추가로 7cm×3cm 직사각형의 경계를 가는 펜과 굵은 펜으로 표시한 그림을 비교할 수도 있습니다. 도형의 실제 가로와 세로가 유지된다면 넓이는 7×3=21cm²이며, 표시선의 굵기는 새 변의 조건으로 넣지 않습니다. 다음 확인에서는 아이가 기본 문제와 새 문제에서 달라진 수치를 찾아보고, 답을 기억해서 쓰는 대신 실과 모눈을 이용해 둘레와 넓이가 왜 각각 22cm와 24cm²인지 다시 보여 주는지 살핍니다.