오륜동 고등수학과외

검산 결과와 예시 오답이 어긋나는 지점

이차함수의 최솟값을 구할 때 계산 결과가 2로 나왔더라도, 그 값이 실제 정의역에서 얻어지는지는 따로 확인해야 한다. 예를 들어 f(x)=(x−3)²+1, 0≤x<2에서 x=2를 대입해 f(2)=2라고 답했다면, 계산 자체보다 x=2를 사용할 수 있는지가 먼저 문제가 된다. 주어진 조건에서 왼쪽 끝점 0은 포함되지만 오른쪽 끝점 2는 열린 끝점이므로, x=2는 허용되는 입력이 아니다.

이때 오답 하나만 보고 꼭짓점 계산을 틀렸다고 단정하지 않는다. 먼저 “x=2가 정의역에 포함되는가?”라고 확인하고, 이어서 꼭짓점과 정의역의 위치를 수직선에 표시하게 한다. (x−3)²+1은 꼭짓점이 (3,1)인 식이지만, 정의역 [0,2) 안에는 x=3이 없다. 따라서 이 구간에서는 x가 3에 가까워질수록 함수값이 작아지는지를 살펴야 한다.

정의역의 조건을 반영한 수정 풀이

허용되는 모든 x는 x<2이므로 x−3<−1이고, 따라서 (x−3)²>1이다. 그러므로 모든 허용 x에서 f(x)=(x−3)²+1>2가 성립한다. 한편 x가 2에 가까워지면 x−3은 −1에 가까워지고 f(x)는 2에 가까워진다. 예를 들어 1.9를 대입하면 f(1.9)=2.21이지만, 1.99를 대입하면 f(1.99)=2.0201이 되어 더 작아진다. 이런 수치 대입은 구간 전체의 결론을 대신하는 것이 아니라, 2에 도달하지 않고도 값을 계속 줄일 수 있음을 확인하는 부분 검산이다.

학생이 직접 “모든 허용 x에서 f(x)>2이고, 어떤 허용 x를 골라도 2에 더 가까운 허용값을 택하면 함수값을 더 줄일 수 있다”고 적는다면 논리가 완성된다. 값 2는 하한에 가깝지만 실제로 f(x)=2가 되는 허용 입력은 없다. 따라서 이 조건에서는 최솟값이 존재하지 않는다. 꼭짓점의 함수값이나 닫힌 끝점의 대입값을 곧바로 답으로 쓰지 않고, 등호가 실제 정의역에서 성립하는지까지 구분해야 한다.

끝점을 포함했을 때의 비교와 다음 점검

같은 함수에서 조건만 0≤x≤2로 바꾸면 결론이 달라진다. 이번에는 x=2가 허용되므로 구간에서 x=3에 가장 가까운 위치가 실제로 포함된다. x∈[0,2]이면 x−3≤−1이므로 (x−3)²≥1이고, x=2에서 등호가 성립한다. 따라서 f(2)=2이며 최솟값은 2, 그 위치는 x=2이다. 열린 구간 [0,2)와 닫힌 구간 [0,2]의 차이는 표현만 달라진 것이 아니라, 함수값을 실제로 얻을 수 있는 입력의 범위를 바꾼 조건의 차이다.

배움노트 고등수학 수업에서는 이 비교 뒤 풀이 순서와 결론을 가린 자료를 남긴다. 문제와 정의역, 함수식, 필요한 검산 방법만 제시하고, 학생이 꼭짓점의 위치를 수직선에 표시한 뒤 열린 끝점에서 최솟값이 존재하지 않는 이유를 스스로 구성하게 한다. 학생은 임의의 허용 x에서 더 작은 값을 만드는 입력을 직접 선택하고, 그 계산을 일반적인 부등식과 대조한다. 이후 끝점을 포함한 조건에서도 같은 순서로 판단하게 하여, 표현 변경과 실제 조건 변경을 구별하는지 확인한다.