원대동 초등수학과외

공 13개를 상자에 담으며 생기는 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 한 상자에 공을 최대 4개씩 담을 수 있고, 공은 모두 13개입니다. 공을 상자별로 4개, 4개, 4개씩 놓으면 가득 찬 상자 3개가 됩니다. 그러면 공 1개가 남아 네 번째 상자에 들어갑니다. 이때 마지막 상자는 한 칸만 채워져 덜 찼지만, 질문은 “모든 공을 담는 데 사용한 상자는 몇 개인가? 덜 찬 상자도 사용한 상자에 포함할까?”입니다.

자료로는 한 상자에 들어갈 수 있는 칸을 네 칸으로 그린 상자 그림과 공 표지를 준비합니다. 채워진 칸 하나는 공 하나를 나타내고, 남은 빈칸은 상자의 여유 용량을 나타냅니다. 아이가 활동하기 전에는 나머지가 있는 나눗셈에서 몫이 가득 찬 상자의 수를 가리키는지, 나머지가 남은 공의 수를 가리키는지 짚어 보며 필요한 이해를 확인합니다. 이 내용을 이미 알고 있다고 단정하지 않고, 공과 상자 그림을 실제로 연결하는지 살핍니다.

몫과 실제 사용한 상자 수를 구분하기

아이가 덜 찬 마지막 상자를 빼고 “상자는 3개”라고 말할 수도 있습니다. 이 답은 가득 찬 상자만 세었을 때에는 나올 수 있지만, 모든 공을 담는 데 실제로 사용한 용기 수를 묻는 조건에는 맞지 않습니다. 교사는 오답의 원인을 미리 정하지 않고, “네 번째 상자에 들어간 공은 어디에 있지?”, “그 공을 담은 상자도 필요했을까?”라고 물어봅니다. 아이가 말로 길게 설명하기 어렵다면 네 번째 상자의 공 표지를 가리키거나 그 상자를 앞으로 옮겨 보게 하여 판단 근거를 확인할 수 있습니다.

교사는 먼저 공 4개를 한 상자의 네 칸에 놓고, 같은 방법으로 두 번째와 세 번째 상자를 채웁니다. 이어 남은 공 1개를 네 번째 상자에 놓으며, “이 상자는 가득 차지는 않았지만 공을 보관하고 있다”는 점을 설명합니다. 나눗셈에서 13을 4씩 묶으면 4개씩 묶인 몫은 3이고 공 1개가 나머지로 남습니다. 그러나 실제로 필요한 상자 수를 묻는다면 이 나머지 공을 담을 상자까지 세어야 하므로 사용 상자는 4개입니다.

아이의 손으로 다시 세고 식과 연결하기

이제 아이가 상자마다 용량을 넘지 않게 공 표지를 직접 놓습니다. 4개씩 세 묶음을 만든 뒤 남은 공 1개를 새 상자에 넣고, 상자 그림의 채워진 칸을 하나씩 확인합니다. 아이가 마지막 상자를 가리키면 교사는 “이 상자 안에도 공이 있니?”, “공을 모두 담으려면 이 상자를 빼도 될까?”라고 다시 묻습니다. 아이가 마지막 상자를 남겨 두거나 공 표지를 옮겨 네 번째 상자에 넣는 행동을 보이면, 덜 찬 상자도 실제 사용 상자에 포함된다는 의미를 행동으로 확인할 수 있습니다.

문제의 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 13개의 공과 네 칸짜리 상자 그림을 다시 놓아 보게 합니다. 이미 정답에 맞게 모형이 완성되어 있으면 과정을 확인하기 어려우므로, 상자와 공을 처음 상태로 되돌리고 아이가 4개씩 담는 일부터 다시 합니다. 마지막에는 “사용한 상자는 몇 개일까?”에 대해 상자를 직접 세어 4개라고 답하고, 덜 찬 마지막 상자에도 공이 들어 있어 사용했다는 근거를 보여 주게 합니다.

공의 수가 달라진 새 문제와 다음 확인

기본 문제와 다른 자료로 공 16개를 준비하고, 한 상자에 최대 5개씩 담아 보게 할 수 있습니다. 5개씩 담으면 가득 찬 상자 3개가 되고, 공 1개가 남아 네 번째 상자에 들어갑니다. 이번에도 마지막 상자는 덜 차지만 모든 공을 담는 데 사용했으므로 사용 상자는 4개입니다. 앞 문제와 달라진 것은 공의 수와 한 상자의 최대 용량이며, 남은 공을 담기 위해 덜 찬 상자 하나가 더 필요하다는 관계는 같습니다.

추가로 한 상자에 공을 최대 4개까지 담을 수 있을 때, 빈 상자 하나에 공 1개만 넣고 상자 밖에는 공을 두지 않는 상황도 비교할 수 있습니다. 이 경우 상자 안의 빈칸은 3개이고, 상자 밖에 남은 공은 0개입니다. 다음 활동에서는 아이가 답만 기억해 “4개”라고 말하는지, 아니면 공을 모두 상자에 넣고 마지막 상자를 가리키며 왜 포함하는지 자료로 보여 주는지 확인합니다.