좌동 초등수학과외

두 종이를 붙였을 때 생기는 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 변의 길이가 7cm와 3cm인 직사각형 종이 두 장을 준비하고, 두 종이의 모서리 점 하나만 닿도록 놓습니다. 질문은 “점 하나가 닿았으니 두 종이의 둘레에서 어떤 길이를 빼야 할까?”입니다. 먼저 각 직사각형의 네 변을 따라가며 둘레를 구하면 한 장은 7+3+7+3=20cm입니다. 두 장의 둘레를 합하면 20+20=40cm가 됩니다.

이때 아이가 점이 닿았다는 이유로 3cm인 변 전체를 한 번 빼거나, 맞닿은 부분을 선분처럼 생각할 수도 있습니다. 그러나 점은 위치를 나타낼 뿐 길이를 갖지 않습니다. 두 도형이 선분 전체를 공유한 것이 아니므로, 두 둘레에서 빼야 할 양의 길이가 생기지 않습니다. 활동 전에는 직사각형 둘레를 구할 수 있는지, 두 종이가 맞닿은 곳을 선분인지 점인지 표시할 수 있는지를 자료로 확인합니다. 이 능력을 이미 갖추었다고 단정하지 않고, 종이의 변을 손가락으로 따라가며 확인하게 합니다.

점과 선분을 구분해 외곽을 따라가기

교사는 두 종이를 모서리 점 하나만 닿게 놓은 뒤, 닿은 곳을 손가락으로 짚으며 “이곳은 어느 정도의 길이를 차지하고 있나요?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 점에 연필 표시를 하고, 맞닿은 변 전체를 별도의 선으로 표시해 보게 합니다. 이어 교사가 한 장의 네 변을 따라가며 7cm, 3cm, 7cm, 3cm를 확인하고, 다른 종이도 같은 방법으로 세도록 시범을 보입니다.

아이는 두 직사각형의 변을 각각 빠짐없이 따라가며 20cm와 20cm를 적고, 두 값을 더해 40cm라고 답합니다. 점이 닿은 곳을 가리킨 뒤에는 그 점에서 멈추더라도 따라갈 수 있는 공통 선분은 없다는 것을 확인합니다. 따라서 점 접촉에는 뺄 선분의 길이가 없고, 둘레 합 40cm가 바깥 경계의 길이가 됩니다. 중요한 것은 숫자 40을 기억하는 일이 아니라, 손가락으로 외곽을 따라가며 실제로 제외할 길이가 있는지 보여 주는 것입니다.

교사의 도움 뒤 다시 해 보는 과정

아이가 “점 하나가 닿았으니 변 하나를 빼요”라고 반응한다면 그 답만 바로 고치기보다, 교사는 종이 사이에 3cm 길이의 변 전체가 겹쳐 있는지 함께 살핍니다. 맞닿은 부분이 점 하나인지, 선분 전체인지 다시 표시하게 하고, 두 종이를 살짝 옮겨도 점 하나만 닿는 조건이 유지되는지 확인할 수 있습니다. 교사가 한쪽 종이의 둘레를 따라가는 모습을 보인 뒤에는 문제와 두 종이 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 놓고 세어 봅니다.

아이는 각 종이의 네 변을 다시 따라가 20cm씩 계산하고, 점이 닿은 부분에는 길이를 적지 않은 채 20+20=40cm를 완성합니다. 말로 이유를 길게 설명하지 못하더라도 점을 가리키고, 공유한 선분이 없음을 그림으로 표시하거나, 뺄 길이가 없다는 식을 적으면 이해를 확인할 수 있습니다. 이 재시도에서는 이미 완성된 모형을 보고 답을 되풀이하지 않도록 종이를 다시 놓는 행동이 필요합니다.

조건이 바뀐 문제와 다음 확인

이어서 변의 길이가 8cm와 3cm인 직사각형 두 장을 모서리 점 하나만 닿게 놓습니다. 한 장의 둘레는 8+3+8+3=22cm이고, 두 장의 둘레 합은 22+22=44cm입니다. 이번에도 점 접촉에는 뺄 선분의 길이가 없으므로 바깥 경계 길이는 44cm입니다. 기본 문제와 달라진 것은 직사각형의 긴 변 길이이며, 점 하나만 닿는 조건과 계산 방법은 그대로입니다.

추가로 7cm×3cm 직사각형 두 장을 길이 3cm인 변 전체끼리 맞붙인 경우도 비교할 수 있습니다. 이때는 두 도형이 3cm 선분을 함께 사용하므로 그 선분이 각 도형의 둘레에서 한 번씩 빠집니다. 20+20-3-3=34cm가 되며, 외곽만 손가락으로 한 바퀴 따라가면 접합선으로 들어가지 않는 이유를 확인할 수 있습니다. 다음에는 아이가 기본 문제와 새 문제에서 달라진 길이와 조건을 직접 표시하고, 답을 외우기보다 자료를 이용해 점에는 뺄 길이가 없고 공유한 선분에는 뺄 길이가 있음을 보여 주는지 살펴봅니다.