좌동 고등수학과외

dx/dt가 0이 되는 경우부터 확인하기

곡선 x=t², y=t에서 t=0일 때 접선 방정식을 구한다고 하자. 이때 dx/dt=2t=0이고 dy/dt=1이므로 dy/dx를 유한한 수로 계산할 수 없다. 따라서 단순히 두 변화율을 나누어 기울기를 정하는 방식은 이 조건에서는 멈춰야 한다. x=t², y=t에서 t를 없애면 x=y²이고, 점 (0,0)은 이 곡선의 꼭짓점이다. 이 점의 접선은 세로선 x=0이다. 점 (t²,t)와 원점 사이의 가로 변화량과 세로 변화량을 t가 0에 가까워질 때 비교해도 접선이 세로 방향임을 확인할 수 있다. 이처럼 분모가 0이 되는 조건은 별도로 살펴야 한다.

기본 문제에서 매개변수의 기울기 기준 세우기

이제 곡선 x=t², y=t³ (t∈R)에서 t=1인 점의 접선 기울기를 구하는 문제로 돌아간다. 학생이 dy/dt=3이므로 기울기도 3이라고 답했다면, 풀이를 곧바로 고치기 전에 “구하는 기울기는 t에 대한 변화율인가, x에 대한 변화율인가?”라고 묻는다. dy/dt는 매개변수 t가 변할 때 y가 변하는 비율이고, 곡선의 기울기는 x가 변할 때 y가 변하는 비율이다. 두 좌표가 같은 t에 따라 움직인다는 점만 보고 dy/dt를 곡선의 기울기로 받아들였는지, 또는 매개변수의 변화와 x의 변화를 구분하지 못했는지 확인할 필요가 있다.

교사는 dx/dt≠0인 점에서 곡선의 기울기가 (dy/dt)/(dx/dt)로 정해진다는 식을 제시하고, dx/dt와 dy/dt를 각각 계산하게 한다. dx/dt=2t, dy/dt=3t²이므로 t=1에서는 각각 2와 3이다. 여기서 설명을 끝내고 학생이 조건을 반영한 다음 줄을 직접 잇게 한다. 학생은 (dy/dt)/(dx/dt)=3/2라고 수정할 수 있다. 실제 접점은 x=1, y=1이므로 (1,1)이고, dx/dt=2≠0이어서 나눗셈이 성립한다. 따라서 접선 기울기의 정답은 3/2이다.

표현이 아니라 조건이 달라졌는지 다시 대조하기

두 문제는 모두 매개변수의 변화율을 이용하지만, t=0인 두 번째 상황에서는 dx/dt가 0이라는 실제 조건이 달라진다. 따라서 같은 방법을 기계적으로 반복하지 않고 분모의 성립 여부를 먼저 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 대표 문제의 식, t의 범위, 접점만 남겨 둔 채 계산 결과와 검산 문장을 가리고 시작한다. 학생이 dx/dt와 dy/dt를 각각 적은 뒤, 분모가 0인지 표시하고, 가능한 경우에만 나누어 기울기를 구하는지 본다. 이어 x=t², y=t인 문제를 다시 풀며 x=y²라는 관계와 원점의 접선 x=0을 스스로 대조하게 한다. 풀이와 정답을 가린 상태에서 조건을 먼저 기록하고 결론을 다시 만들면, 표현만 바뀐 문제와 실제 성립 조건이 바뀐 문제를 구분하는 힘을 확인할 수 있다.