철마면 초등수학과외

이 글은 평균을 자료의 모양과 연결해 확인하는 교육용 예시입니다. 접시 세 개에 구슬이 각각 2개, 4개, 6개 놓여 있다고 가정해 보겠습니다. 다음 활동에서 아이가 “가장 많은 접시에 6개가 있으니 평균도 6개일 것 같다”고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 이때 먼저 답을 바로 고치기보다, 평균이 무엇을 나타내는지 자료를 이용해 다시 살펴봅니다.

최댓값과 평균을 먼저 구분하기

접시의 구슬 수를 순서대로 적으면 2, 4, 6입니다. 여기서 6은 세 자료 중 가장 큰 수인 최댓값입니다. 평균은 가장 큰 자료 하나를 고르는 값이 아니라, 모든 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 대표값입니다. 따라서 “평균은 가장 많은 접시의 구슬 수다”라는 설명은 이 문제의 조건에 맞지 않습니다.

교사는 가장 큰 접시의 6개를 짚은 뒤 다른 접시의 2개와 4개도 차례로 짚으며 “평균을 구할 때 어느 접시의 구슬을 사용해야 할까?”, “접시는 모두 몇 개일까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 세 접시를 가리키고 구슬을 한곳에 모으거나, 종이에 2+4+6과 접시 3개를 각각 표시하게 하여 이해를 확인할 수 있습니다. 이 과정에서 자료의 합과 자료의 개수를 따로 구해야 하는지 살펴봅니다.

구슬을 모아 합과 나눗셈으로 연결하기

아이와 함께 세 접시의 구슬을 한데 모으면 모두 12개입니다. 접시는 세 개이므로 12개를 세 접시에 똑같이 나누어 놓는 상황으로 바꾸어 볼 수 있습니다. 식으로는 (2+4+6)÷3=4이고, 평균은 구슬 4개입니다. 구슬을 접시 사이에 하나씩 옮겨 각 접시에 4개씩 놓으면 처음의 합 12개는 그대로이고, 접시 수 3개도 그대로입니다. 가장 큰 접시의 6개를 평균이라고 하는 것과 달리, 평균 4개는 전체 양을 접시 수만큼 고르게 나눈 값이라는 점이 드러납니다.

교사가 한두 개의 구슬을 옮기는 모습을 시범 보인 뒤에는 아이가 남은 구슬을 직접 옮겨 보게 합니다. 아이가 접시마다 4개가 되었는지 세고, 종이에 12÷3=4를 적거나 4개씩 놓인 접시를 그리면 활동과 식이 같은 양을 나타내는지 확인할 수 있습니다. 구슬을 옮겨 위치나 접시별 분포가 달라져도 구슬을 추가하거나 빼지 않았다면 전체 합은 바뀌지 않습니다.

자료가 달라진 새 문제에 적용하기

기본 문제를 확인한 뒤에는 새로운 자료로 바꾸어 봅니다. 접시 네 개에 구슬을 각각 6개, 7개, 9개, 10개 놓고, 많은 접시에서 적은 접시로 구슬을 옮겨 보겠습니다. 이번에는 자료의 합이 6+7+9+10=32개이고 접시 수는 4개입니다. 따라서 평균은 32÷4=8개입니다.

아이에게 10개가 놓인 접시를 보고 평균을 10개라고 정하지 않도록, 네 접시의 구슬을 모두 세어 합을 적게 합니다. 그런 다음 32개를 네 접시에 똑같이 나누어 놓으며 각 접시에 8개가 되는지 확인합니다. 기본 문제와 달라진 것은 접시의 수와 각 접시의 자료이고, 평균을 구하는 관계인 ‘전체 합÷자료 개수’는 같습니다.

다음에 확인할 행동

추가 비교가 필요하다면 한 접시에 10개가 있고 나머지 세 접시에 각각 2개씩 있는 자료를 살펴볼 수 있습니다. 전체 합은 16개, 자료 개수는 4개이므로 평균은 (10+2+2+2)÷4=4개입니다. 자료를 두 무리로 나누어 평균 10과 2를 구했다고 해서 두 평균을 더해 2로 나눈 (10+2)÷2=6개가 전체 평균이 되지는 않습니다. 각 무리에 포함된 자료의 개수가 다르기 때문입니다.

다음 활동에서는 문제와 접시·구슬 자료는 유지하고 해설과 정답만 가린 뒤, 아이가 처음부터 자료의 합과 개수를 다시 적고 구슬을 옮겨 보게 합니다. 답을 외워 말하는지보다 모든 자료를 한 번씩 세고, 접시 수로 나누며, 평균이 된 수를 구슬 배치나 그림으로 보여 주는지를 확인합니다. 말이 짧아도 필요한 구슬을 가리키고 옮기는 행동이 식과 맞으면 그 근거를 살펴볼 수 있습니다.