기장읍 고등수학과외

계산이 “B 참여자는 모두 몇 명이며 A 참여자 수와 같은가?”에서 멈춘 장면을 떠올려 보자. 조건부확률 문제에서 계산 자체는 짧아도, 어떤 사건을 조건으로 삼았는지에 따라 분모가 달라진다. 가상 조사 100명 중 A에 참여한 사람은 40명, A와 B에 모두 참여한 사람은 10명, A에는 참여하지 않았지만 B에는 참여한 사람은 20명이다. 한 명을 균등하게 뽑을 때 P(A|B)를 구하는 문제다.

같은 교집합을 보고도 분모를 바꿔야 하는 이유

이렇게 답했다면 어떨까. P(B|A)=10/40=1/4이므로 P(A|B)도 1/4이라고 하는 경우다. 두 확률 모두 A와 B가 겹치는 10명을 세지만, 조건으로 남기는 사건이 다르다. P(B|A)는 A가 일어난 경우만 모아 그중 B인 비율이므로 P(A)>0일 때 10/40으로 정의된다. 이는 시간적 순서나 원인과 결과를 뜻하는 표현이 아니다.

반대로 P(A|B)는 B가 일어난 사람들 가운데 A도 일어난 비율이다. 따라서 먼저 B 참여자 전체를 확인해야 한다. B 참여자는 A와 B에 모두 참여한 10명과 A에는 참여하지 않고 B에 참여한 20명을 합한 30명이다. 그러므로 조건 B에 해당하는 집합을 분모로 놓으면 P(A|B)=10/30=1/3이다. 원의 표준형에서 오른쪽 수가 반지름의 제곱이어야 하는 것처럼, 조건부확률에서도 식의 자리에 맞는 대상을 정확히 넣어야 한다.

오답의 원인을 질문과 표시로 나누어 확인하기

1/4라는 결과만 보고 곧바로 개념을 모른다고 단정하지 않는다. 학생에게 “B 참여자는 모두 몇 명이며 A 참여자 수와 같은가?”라고 묻고, 10명과 20명을 직접 표시하게 한다. 이어 A 참여자 40명과 B 참여자 30명을 나란히 적어 보게 한다. 학생이 조건 B를 확인하고도 분모를 40으로 썼다면 사건의 방향을 바꾼 것인지, 조건이 주어진 뒤 전체를 바꾸지 못한 것인지 설명을 들어 구분할 수 있다.

교사의 설명을 들은 뒤에는 학생이 직접 P(A|B)=10/30=1/3을 쓰고, P(B|A)=10/40과 다르다고 말하게 한다. 교집합은 같지만 조건 사건의 크기가 달라 분모가 바뀐다는 점도 확인한다. 분수 계산만 맞추는 것이 아니라 ‘무엇을 조건으로 남겼는가’를 문장으로 대조해야 한다. 이 과정은 배움노트 고등수학 수업에서 조건부확률과 역조건부확률의 차이를 구분할 때 핵심이 된다.

조건을 남긴 채 가리고 다시 적용하기

이제 문제의 조건인 A 참여 40명, 그중 B 참여 10명, A 미참여 60명 중 B 참여 30명을 그대로 남긴다. 풀이와 정답, 분모를 고르는 유도 표시는 가린 상태에서 학생이 독립적으로 시작한다. 이번에는 P(B|A)를 물으므로 조건 사건은 A이고, A의 40명 안에 B와 겹치는 10명이 있다. 따라서 P(B|A)=10/40=1/4이다. 교집합 확률 0.1을 P(A)=0.4로 나누어도 같은 값이 나온다.

앞선 문제와 숫자나 표현만 바뀐 것인지, 실제로 조건 사건이 바뀐 것인지 먼저 구별한다. 학생은 조건에 해당하는 행 또는 집합만 둘러 표시한 뒤 그 크기를 분모로 적는다. “B 참여자는 모두 몇 명이며 A 참여자 수와 같은가?”에 대한 답과 두 풀이가 함께 맞으면 다음에는 표의 위치가 달라진 문제에서도 같은 절차를 점검한다. 핵심은 교집합을 조건 사건의 크기로 나누되, 조건의 방향을 끝까지 보존하는 것이다.