망미동 고등수학과외

“4를 만드는 x=±2 중 허용되는 값이 있는가?”

배움노트 고등수학 수업에서 극값과 구간의 최대·최소를 다룰 때는 계산 결과만 맞추는 것보다 그 값이 실제 정의역에서 만들어지는지 확인하는 과정이 중요하다. 예를 들어 f(x)=x², −1<x<2의 최댓값과 최솟값을 묻는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. x²은 0 이상이고 양 끝을 제곱하면 1과 4가 되므로 최댓값 4, 최솟값 0이라고 판단하는 경우다. 이때 오답을 곧바로 개념 부족으로 단정하지 않고, “4를 만드는 x=±2 중 허용되는 값이 있는가?”라고 먼저 묻는다. x=2뿐 아니라 x=−2도 열린 구간 −1<x<2에 포함되지 않는다. 따라서 4는 실제 함수값으로 달성되지 않는다.

학생이 직접 x=2와 x=−2를 부등식에 대입해 허용 여부를 표시하고, 0을 만드는 x=0은 구간 안에 있는지 대조하게 한다. 이 확인을 통해 끝점을 무심코 포함했는지, 도함수가 0인 점을 자동으로 극값이라고 생각했는지 구분할 수 있다.

정의역을 반영해 오답을 다시 계산하기

f(x)=x²의 도함수는 f′(x)=2x이고 x=0에서 0이 된다. 그러나 도함수가 0이라는 사실만으로 최댓값이나 최솟값을 결정하지는 않는다. 이 문제에서는 x<0에서 도함수가 음수이고 x>0에서 양수이므로 x=0을 지나 함수가 감소에서 증가로 바뀐다. 따라서 x=0에서 최솟값 0이 존재한다. 학생은 이 부호 변화를 직접 도함수 부호표에 적고, f(0)=0도 계산해 연결한다.

반면 열린 구간에서는 x=2를 사용할 수 없으므로 f(2)=4를 최댓값이라고 쓸 수 없다. 모든 허용되는 x는 x<2이므로 x²<4이다. 또한 2에 가까운 양의 입력을 계속 선택하면 함수값은 4에 가까워지면서 더 커진다. 예를 들어 허용되는 양의 x를 하나 정했을 때 그 값보다 2에 더 가까운 입력을 다시 고를 수 있다. 그러므로 가장 큰 값은 달성되지 않으며, 정답은 최솟값 0, 최댓값 없음이다. ‘4에 가까워지는 값’과 ‘실제로 얻는 최댓값’을 구별해야 한다.

조건을 남긴 독립 재적용과 다음 점검

이제 풀이와 정답을 가린 상태에서 다음 문제만 제시한다. f(x)=|x²−1|, −2≤x≤2의 최댓값과 최솟값을 구하라. 먼저 닫힌 구간이라는 조건과 절댓값 안이 0이 되는 입력을 표시하고, 함수가 미분되지 않을 수 있는 점도 따로 적는다. 그 뒤 구간을 나누어 각 부분의 함수값을 계산하고 후보를 비교한다.

학생은 −1≤x≤1에서 f(x)=1−x², −2≤x<−1 또는 1<x≤2에서 f(x)=x²−1로 나눈다. 미분되지 않는 점은 x=−1, 1이고, 닫힌 구간의 끝점은 x=−2, 2이므로 이들을 후보로 확인한다. 후보 ±2, ±1, 0에서의 함수값은 각각 3, 0, 1이다. 안쪽 조각에서는 값이 0 이상 1 이하이고 바깥 조각에서는 0 이상 3 이하이므로 다른 내부 값이 이 범위를 벗어나지 않는다. 따라서 최댓값은 3, x=±2에서 존재하고 최솟값은 0, x=±1에서 존재한다.

두 문제의 표현은 모두 함수값 후보를 비교하지만 조건은 다르다. 첫 문제는 열린 끝점 때문에 4를 달성할 수 없었고, 새 문제는 닫힌 끝점을 포함해 3을 얻는다. 다음에는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건부터 표시하게 한다. 도함수가 0인 점과 극값을 혼동하면 부호표와 실제 함수값의 높이를 따로 작성하고, 같은 개념의 문제에서 달라진 조건을 한 문장으로 설명하게 한다.